Để giải phương trình \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) = \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm cosin: \( \cos A = \cos B \) dẫn đến hai trường hợp:

1. \( A = B + 2k\pi \)
2. \( A = -B + 2k\pi \)

với \( k \in \mathbb{Z} \).

Áp dụng vào bài toán của chúng ta với \( A = 3x - \frac{7\pi}{12} \) và \( B = -x + \frac{\pi}{4} \), chúng ta có:

### Trường hợp 1:
\[ 3x - \frac{7\pi}{12} = -x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Giải phương trình này:
\[
3x + x = \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
4x = \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]
Để cộng \( \frac{\pi}{4} \) và \( \frac{7\pi}{12} \), chúng ta quy đồng. Ta có:
\[
\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \quad \text{(đưa về mẫu 12)}
\]
Vậy,
\[
\frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}
\]
Do đó, phương trình trở Thành:
\[
4x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
Chia đôi cả hai bên:
\[
x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
\]

### Trường hợp 2:
\[ 3x - \frac{7\pi}{12} = -(-x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \]
\[
3x - \frac{7\pi}{12} = x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]
Giải phương trình này:
\[
3x - x = -\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
2x = -\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]
Tương tự, cộng các phân số:
\[
-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}
\]
Vậy,
\[
-\frac{3\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Chia đôi cả hai bên:
\[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi
\]

### Kết luận
Từ hai trường hợp, ta có các nghiệm sau:
1. \( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \)
2. \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \)

Với \( k \in \mathbb{Z} \).