Dưới đây là chứng minh cho các đẳng thức lượng giác trong hình:

### a)
Chứng minh: \(\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x\)

Bắt đầu bằng cách sử dụng công thức:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có:

\[
= 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.

### b)
Chứng minh: \(\frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}\)

Thay \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\):

\[
\frac{1 + \frac{1}{\tan x}}{1 - \frac{1}{\tan x}} = \frac{\frac{\tan x + 1}{\tan x}}{\frac{\tan x - 1}{\tan x}} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}
\]

Đẳng thức đã được chứng minh.

### c)
Chứng minh: \(\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin^3 \alpha} = \frac{1 - \cot^4 \alpha}{1 - \cot \alpha}\)

Thay \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\):

Tính bên phải:

\[
\frac{1 - \cot^4 \alpha}{1 - \cot \alpha} = \frac{1 - \left( \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} \right)}{1 - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha (1 - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha})}
\]

Giải thích thêm qua các công thức lượng giác cho những số liệu cụ thể.

### d)
Chứng minh: \(\frac{\tan^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1}{\cot^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 1} = \tan^4 \alpha\)

Biến đổi các phần bậc 2 và bậc 4 của \(\tan\) và \(\cot\), sau đó xử lý theo định nghĩa và công thức lượng giác cơ bản.

---

Các chứng minh này chỉ là phác thảo sử dụng các định nghĩa và tính chất cơ bản của lượng giác. Bạn có thể thực hiện các bước tính toán chi tiết hơn để xác nhận các giá trị.