Chứng minh biểu thức sau: cos(3x-7pi/12) = cos(-x+pi/4)

Để chứng minh biểu thức \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) = \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \cdot \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) = \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \), ta sẽ bắt đầu xác định từng phần của biểu thức.

1. **Phân tích từng thành phần:**

Ta có biểu thức cần chứng minh là:
\[
\cos(3x - \frac{7\pi}{12}) = \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \cdot \cos(3x - \frac{7\pi}{12})
\]
Giúp cho việc chứng minh, ta biết rằng nếu một số \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) \) là không bằng 0, ta có thể chia hai vế cho \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) \):
\[
\cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 1
\]

2. **Tính giá trị của \( \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \):**

\( \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \) có thể được tính bằng công thức:
\[
\cos(-x + \frac{\pi}{4}) = \cos(-x) \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(-x) \sin(\frac{\pi}{4})
\]
Sử dụng tính chất đối xứng của hàm cos và sin:
\[
= \cos(x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin(x) \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(x) + \sin(x))
\]

3. **Biểu thức cần chứng minh là 1:**

Để chứng minh rằng \( \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 1 \), ta cần:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(x) + \sin(x)) = 1
\]
Điều này chỉ xảy ra khi:
\[
\cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}
\]

Thực tế thì phương trình trên chỉ có nghiệm khi \( x \) đạt một giá trị cụ thể (ví dụ như \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)).

4. **Kết luận:**

Do đó, biểu thức là đúng trong trường hợp \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) \neq 0 \).

Khi \( \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \) không bằng 1 (bình thường), từ đó chứng minh rằng
\[
\cos(3x - \frac{7\pi}{12}) = \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \Rightarrow \cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 1
\]

Như vậy, với điều kiện \( \cos(3x - \frac{7\pi}{12}) \neq 0 \) thì ta có thể khẳng định \( \cos(-x + \frac{\pi}{4}) \) có thể nhận giá trị 1 trong một số trường hợp cụ thể.

Nếu cần đánh giá chính xác hơn cho từng giá trị \( x \), ta có thể áp dụng thêm một số giá trị cụ thể hoặc điều kiện hạn chế cho \( x \).