Để chứng minh rằng tia phân giác góc ngoài \( A_x \) tại đỉnh \( A \) của tam giác \( ABC \) song song với cạnh \( BC \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt Đường Cao và Trung Tuyến**: Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) hạ xuống cạnh \( BC \) và cũng là trung điểm của \( BC \). Điều này có nghĩa là \( BH = HC \).

2. **Sử Dụng Tính Chất Góc**: Tia phân giác góc ngoài \( A_x \) sẽ tạo ra hai góc: một góc \( \angle A_x AB \) và một góc \( \angle A_x AC \).

3. **Góc Trong và Góc Ngoài**: Tính chất phân giác góc cho biết rằng \( \angle A_x AB = \angle AHC \) và \( \angle A_x AC = \angle AHB \).

4. **So Sánh Các Góc**: Do \( AH \) là đường cao, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHC = 90^\circ \). Như vậy, \( \angle A_x AB + \angle A_x AC = \angle AHB + \angle AHC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

5. **Kết Luận**: Nếu tổng hai góc này bằng \( 180^\circ \) và tia phân giác \( A_x \) cắt cạnh \( BC \) tại điểm nào đó trên đường thẳng qua \( H \), thì \( A_x \) sẽ song song với \( BC \). Vậy suy ra:

\[
A_x \parallel BC
\]

Chứng minh thành công rằng tia phân giác góc ngoài \( A_x \) song song với cạnh \( BC \).