Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} < a^2 + \frac{4}{5} \quad \text{với } a \neq 0,
\]

ta sẽ tính giá trị của hội số bên trái trước.

Tính toán từng thành phần:

1. \(\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}\)
2. \(\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\)
3. \(\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}\)

Giờ cộng các phân số này lại:

\[
\frac{1}{2} = \frac{6}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{2}{12}, \quad \text{và } \frac{1}{12} = \frac{1}{12}.
\]

Cộng lại:

\[
\frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.
\]

Vậy, ta có:

\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4}.
\]

Bây giờ, ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\[
\frac{3}{4} < a^2 + \frac{4}{5}.
\]

Ta cần so sánh \(\frac{3}{4}\) với \(a^2 + \frac{4}{5}\). Ta sẽ tính toán \(\frac{4}{5}\):

\[
\frac{4}{5} = \frac{12}{15} = 0.8.
\]

Và

\[
\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = 0.75.
\]

Ta có thể tính:

\[
\frac{3}{4} = 0.75 < 0.8 = \frac{4}{5}.
\]

Vậy, bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn nếu \( a^2 > 0\). Vì \( a \neq 0\), do đó, \( a^2 > 0\) luôn đúng.

Khi đó,

\[
\frac{3}{4} < a^2 + \frac{4}{5},
\]

đã được chứng minh là đúng cho mọi \( a \neq 0\).

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} < a^2 + \frac{4}{5} \quad \text{với } a \neq 0.
\]

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.