Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức lượng giác cho sin và cos.

Cho \( \sin a - \cos a = \frac{1}{3} \).

Chúng ta có thể bình phương hai vế của phương trình này:

\[
(\sin a - \cos a)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2
\]

Khi thực hiện bình phương, ta có:

\[
\sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{1}{9}
\]

Chúng ta biết rằng \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):

\[
1 - 2 \sin a \cos a = \frac{1}{9}
\]

Giải phương trình này:

\[
-2 \sin a \cos a = \frac{1}{9} - 1
\]
\[
-2 \sin a \cos a = -\frac{8}{9}
\]
\[
2 \sin a \cos a = \frac{8}{9}
\]

Từ công thức lượng giác, ta có \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \), vậy:

\[
\sin 2a = \frac{8}{9}
\]

Bây giờ, để tính giá trị của \( A = \sin 2a \):

\[
A = \frac{8}{9}
\]

Tiếp theo, để tính \( B = \cos 2a \), ta sử dụng công thức \( \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a \) hoặc \( \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \).

Trước tiên, chúng ta cần tính giá trị của \( \sin^2 a \) và \( \cos^2 a \). Từ hai đẳng thức:

1. \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \)
2. \( \sin a - \cos a = \frac{1}{3} \)

Ta rút \( \cos a \) từ phương trình thứ hai:

\[
\cos a = \sin a - \frac{1}{3}
\]

Thay \( \cos a \) vào phương trình 1:

\[
\sin^2 a + \left( \sin a - \frac{1}{3} \right)^2 = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
\sin^2 a + \left( \sin^2 a - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{9} \right) = 1
\]
\[
2\sin^2 a - \frac{2}{3} \sin a + \frac{1}{9} = 1
\]
\[
2\sin^2 a - \frac{2}{3} \sin a - \frac{8}{9} = 0
\]

Để giải phương trình bậc 2 này, ta nhân với 9 để loại bỏ mẫu:

\[
18 \sin^2 a - 6 \sin a - 8 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
\sin a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-8)}}{2 \cdot 18}
\]
\[
\sin a = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 576}}{36} = \frac{6 \pm \sqrt{612}}{36}
\]
\[
\sqrt{612} = 6\sqrt{17}
\]
\[
\sin a = \frac{6 \pm 6\sqrt{17}}{36} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}
\]

Vì \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), do đó chúng ta chọn dấu dương:

\[
\sin a = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}
\]

Từ \( \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \):

\[
\cos^2 a = 1 - \left( \frac{1 + \sqrt{17}}{6} \right)^2 = 1 - \frac{(1 + \sqrt{17})^2}{36}
\]
\[
= 1 - \frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{36} = 1 - \frac{18 + 2\sqrt{17}}{36} = \frac{36 - (18 + 2\sqrt{17})}{36} = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{36} = \frac{9 - \sqrt{17}}{18}
\]

Do đó:

\[
\cos a = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{17}}{18}}
\]

Bây giờ ta có thể tính \( B = \cos 2a \):

\[
B = 2 \cos^2 a - 1 = 2 \cdot \frac{9 - \sqrt{17}}{18} - 1 = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{18} - 1 = \frac{-2\sqrt{17}}{18} = -\frac{\sqrt{17}}{9}
\]

Tóm lại, giá trị của các biểu thức là:

\[
A = \frac{8}{9}, \quad B = -\frac{\sqrt{17}}{9}
\]