Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt tính các (a), (b), và (c).

### a) Tính BC và diện tích tam giác ABC

**Bước 1: Tính độ dài cạnh BC sử dụng định lý cosin**

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC theo công thức:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Trong đó:
- \( a = BC \)
- \( b = AC = 13 \, \text{cm} \)
- \( c = AB = 8 \, \text{cm} \)
- \( C = 60^\circ \)

Ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)
\]
Thay giá trị vào:
\[
BC^2 = 8^2 + 13^2 - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
= 64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= 64 + 169 - 8 \cdot 13
\]
\[
= 64 + 169 - 104
\]
\[
= 129
\]
Vậy:
\[
BC = \sqrt{129} \approx 11.36 \, \text{cm}
\]

**Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC**

Áp dụng công thức diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A)
\]
Thay vào:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 13 \cdot \sin(60^\circ)
\]
\[
= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= 52 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26\sqrt{3} \approx 45.0 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính độ dài trung tuyến AM và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

**Bước 1: Tính độ dài trung tuyến AM**

Sử dụng công thức độ dài trung tuyến:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]
Trong đó:
- \( b = AC = 13 \, \text{cm} \)
- \( c = AB = 8 \, \text{cm} \)
- \( a = BC = \sqrt{129} \)

Áp dụng:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 8^2 - \left(\sqrt{129}\right)^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 169 + 2 \cdot 64 - 129}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{338 + 128 - 129}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{337} \approx \frac{18.36}{2} \approx 9.18 \, \text{cm}
\]

**Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R**

Áp dụng công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Với:
- \( a = \sqrt{129} \)
- \( b = 8 \)
- \( c = 13 \)
- \( S = 26\sqrt{3} \)

Thay vào công thức:
\[
R = \frac{\sqrt{129} \cdot 8 \cdot 13}{4 \cdot 26\sqrt{3}}
\]
\[
R = \frac{\sqrt{129} \cdot 104}{104\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{3}} \approx \sqrt{43} \approx 6.56 \, \text{cm}
\]

### c) Tính độ dài đường phân giác trong AD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

**Bước 1: Tính độ dài đường phân giác AD**

Áp dụng công thức:
\[
d_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos(\frac{A}{2})
\]
Với:
- \( b = AC = 13 \)
- \( c = AB = 8 \)

Tính:
\[
d_a = \frac{2 \cdot 13 \cdot 8}{13 + 8} \cdot \cos(30^\circ)
\]
\[
= \frac{208}{21} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= \frac{208\sqrt{3}}{42} \approx \frac{208 \cdot 1.732}{42} \approx 8.71 \, \text{cm}
\]

Tóm lại:
- a) \( BC \approx 11.36 \, \text{cm}, S \approx 45.0 \, \text{cm}^2 \)
- b) \( AM \approx 9.18 \, \text{cm}, R \approx 6.56 \, \text{cm} \)
- c) \( AD \approx 8.71 \, \text{cm} \)