Tìm m để phương trình thỏa mãn

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( 2 \cot x - 4m + 3 = 0 \) có nghiệm trong khoảng \( \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right] \), ta cần phân tích như sau:

1. **Chuyển đổi phương trình**:
\[
2 \cot x = 4m - 3
\]
\[
\cot x = 2m - \frac{3}{2}
\]

2. **Xác định giá trị của \( \cot x \)** trong khoảng \( x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}\right] \):
- Ở \( x = \frac{\pi}{4} \): \( \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)
- Ở \( x = \frac{\pi}{6} \): \( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \)

Do đó, \( \cot x \) giảm từ \( 1 \) đến \( \sqrt{3} \) khi \( x \) biến từ \( \frac{\pi}{4} \) đến \( \frac{\pi}{6} \).

3. **Xác định giới hạn của \( \cot x \)**:
\[
\sqrt{3} < \cot x < 1
\]

4. **Thiết lập bất phương trình cho \( m \)**:
\[
\sqrt{3} < 2m - \frac{3}{2} < 1
\]

**Giải bất phương trình**:
- Bất phương trình bên trái:
\[
2m - \frac{3}{2} > \sqrt{3} \implies 2m > \sqrt{3} + \frac{3}{2} \implies m > \frac{\sqrt{3} + \frac{3}{2}}{2}
\]
- Bất phương trình bên phải:
\[
2m - \frac{3}{2} < 1 \implies 2m < 1 + \frac{3}{2} \implies m < \frac{5}{4}
\]

5. **Tổng hợp kết quả**:
\[
\frac{\sqrt{3} + \frac{3}{2}}{2} < m < \frac{5}{4}
\]

Tính giá trị cụ thể cho \( m \) trong khoảng này sẽ cho ra các điều kiện cần thiết.

Hãy làm phép tính để tìm khoảng chính xác cho \( m \).