Để chứng minh 3 điểm A(3; 1), B(2; -3), và C(1; -7) thẳng hàng, ta có thể kiểm tra định nghĩa về điểm thẳng hàng, đó là diện tích của tam giác được tạo bởi 3 điểm này bằng 0.

Diện tích của tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
\]

Trong đó:
- \( A(x_1, y_1) = A(3, 1) \)
- \( B(x_2, y_2) = B(2, -3) \)
- \( C(x_3, y_3) = C(1, -7) \)

Thay các giá trị vào công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \left| 3(-3 - (-7)) + 2(-7 - 1) + 1(1 - (-3)) \right|
\]

Tính từng phần:

1. \( y_2 - y_3 = -3 - (-7) = -3 + 7 = 4 \)
2. \( y_3 - y_1 = -7 - 1 = -8 \)
3. \( y_1 - y_2 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \)

Thay vào biểu thức diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \left| 3(4) + 2(-8) + 1(4) \right| = \frac{1}{2} \left| 12 - 16 + 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 0 \right| = 0
\]

Vì diện tích tam giác S = 0, điều này chứng tỏ rằng 3 điểm A, B, và C thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh rằng 3 điểm A(3; 1), B(2; -3) và C(1; -7) thẳng hàng.