Gọi độ dài của AB là \( c \), độ dài của AC là \( b \). Theo đề bài, ta có:

1. \( c = 2b \)
2. Hình chiếu của cạnh \( AB \) trên \( BC \) (cạnh đối diện với \( A \)) có độ dài là 4 cm.

Gọi độ dài của BC là \( a \). Ta có:

\[
AB \cdot \cos(\angle ABC) = 4 \text{ cm}
\]

Vì \( \angle ABC = 60^\circ \), ta có:

\[
AB \cdot \cos(60^\circ) = 4
\]

Vì \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), nên ta có:

\[
AB \cdot \frac{1}{2} = 4
\]

Từ đó, suy ra:

\[
AB = 8 \text{ cm} \quad (1)
\]

Theo (1), ta có \( c = 8 \) cm. Với \( c = 2b \), suy ra:

\[
2b = 8 \implies b = 4 \text{ cm} \quad (2)
\]

Vậy:

\[
AB = 8 \text{ cm}, \quad AC = 4 \text{ cm}
\]

Bây giờ để tính độ dài cạnh BC và góc ACB, ứng dụng định lý Cosine trong tam giác ABC:

\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(60^\circ)
\]

Thay \( a = BC \), \( b = AC = 4 \), \( c = AB = 8 \), và \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \):

\[
a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
a^2 = 16 + 64 - 32 = 48 \implies a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm} \quad (3)
\]

Để tính góc ACB, ta sử dụng định lý sine hoặc Cosine một lần nữa:

\[
\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}
\]

\[
\frac{8}{\sin(\angle ACB)} = \frac{4}{\sin(60^\circ)}
\]

Vì \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có:

\[
\frac{8}{\sin(\angle ACB)} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} \implies \sin(\angle ACB) = \frac{8}{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}
\]

Một số điều chỉnh nhỏ:

\[
\sin \angle ACB = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \angle ACB = 60^\circ
\]

Kết quả:

- Độ dài \( AB = 8 \text{ cm} \)
- Độ dài \( AC = 4 \text{ cm} \)
- Góc \( ACB = 60^\circ \)

Vậy, độ dài AB là 8 cm, độ dài AC là 4 cm và góc ACB là 60°.