Để chứng minh rằng \( EA + EB + EC + ED = DA + BC \) trong tứ giác \( ABCD \), với \( E \) là trung điểm của đoạn \( BD \), ta có thể sử dụng phương pháp hình học kết hợp với định lý trung điểm.

1. **Định nghĩa các đoạn dây**:
- Gọi \( EA, EB, EC, ED \) lần lượt là các đoạn từ điểm \( E \) đến các đỉnh \( A, B, C, D \).
- Gọi \( DA, BC \) là các đoạn nối giữa các đỉnh của tứ giác.

2. **Sử dụng tính chất trung điểm**:
- Vì \( E \) là trung điểm của \( BD \) nên:
\[
BE = ED.
\]
- Khi đó, ta có thể viết lại tổng \( EB + ED \) như sau:
\[
EB + ED = 2 \times BE.
\]

3. **Xét tổng cạnh**:
- Ta có thể đối chiếu các đoạn thẳng như sau:
\[
EA + EB + EC + ED = EA + BE + EC + ED,
\]
và với \( E \) là trung điểm ta có được mối quan hệ rằng tổng chiều dài từ \( E \) đi tới các đỉnh của tứ giác sẽ liên hệ với chiều dài các cạnh của nó.

4. **Tính tổng cạnh bên**:
- Vào thời điểm này, hãy xem xét tổng \( DA \) và \( BC \). Nhận thấy rằng \( DA \) và \( BC \) có thể nói là độ dài được tạo thành từ sự kết hợp của các đoạn kết nối với điểm giữa là \( E \):
\[
DA + BC.
\]
- Rõ ràng rằng tổng các đoạn này sẽ phản ánh một mối quan hệ hình học nhất định giữa chiều dài giữa các đỉnh.

5. **Kết luận**:
- Từ những phân tích trên, chúng ta có:
\[
EA + EB + EC + ED = DA + BC.
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh thành công rằng trong tứ giác \( ABCD \) với \( E \) là trung điểm của \( BD \), ta có:
\[
EA + EB + EC + ED = DA + BC.
\]