Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Rút gọn A

Đầu tiên, ta có biểu thức:

\[
A = \frac{x}{x-5} - \frac{10x}{x^2 - 25} + \frac{5}{x+5}
\]

Ta biết rằng \(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\), do đó:

\[
\frac{10x}{x^2 - 25} = \frac{10x}{(x-5)(x+5)}
\]

### Bước 1: Quy đồng các phân thức

Quy đồng các phân thức có mẫu là \((x-5)(x+5)\):

\[
A = \frac{x(x+5) - 10x + 5(x-5)}{(x-5)(x+5)}
\]

### Bước 2: Tính tử số

Tử số:

\[
x(x+5) - 10x + 5(x-5) = x^2 + 5x - 10x + 5x - 25 = x^2 - 25
\]

### Bước 3: Phân tích tử số

Tử số có thể phân tích:

\[
x^2 - 25 = (x-5)(x+5)
\]

### Bước 4: Rút gọn

Do đó, ta có:

\[
A = \frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = 1 \quad (\text{trừ khi } x \neq 5, x \neq -5)
\]

### b) Tìm giá trị của A khi \(x = -1\)

Thay giá trị \(x = -1\):

\[
A = 1
\]

### c) Tìm \(x\) để \(A = \frac{2}{3}\)

Vì \(A = 1\), nên không có giá trị \(x\) nào thỏa mãn \(A = \frac{2}{3}\) (trừ khi \(x = 5\) hoặc \(x = -5\) không được tính vào bài toán).

### d) Tìm \(x\) nguyên để \(A\) nguyên

Vì \(A = 1\) là nguyên, tất cả các số nguyên \(x\) khác \(5\) và \(-5\) đều phù hợp.

### Kết luận:

- **a)** \(A = 1\)
- **b)** \(A\) khi \(x = -1\) là \(1\)
- **c)** Không có \(x\) nào làm \(A = \frac{2}{3}\)
- **d)** Tất cả các số nguyên \(x \neq 5\) và \(x \neq -5\) đều làm \(A\) nguyên.