Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức và tính chất trong tam giác.

### Bài a: Chứng minh rằng \(AE \cdot AB = AF \cdot AC\)

Để chứng minh, chúng ta sẽ sử dụng định lý Sin và các tính chất của tam giác vuông.

### Bài b: Tính độ dài \(AE\) và \(BE\)

Từ hình vẽ, chúng ta biết:

- \(AB = 4\) cm
- \(AH = 3\) cm

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác \(AHE\) vuông tại \(H\):

\[
AE = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính độ dài \(BE\):

So với \(AB\), \(BE\) có thể tính như sau:

\[
BE = AB - AE = 4 - \sqrt{7} \text{ cm}
\]

### Bài c: Tính \(FC\)

Áp dụng định lý Sin trong tam giác \(AHC\), vì \(HAC = 30^\circ\):

\[
\frac{AH}{AC} = \frac{\sin(30^\circ)}{HC}
\]

Biết rằng \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có:

\[
AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 3 = 6 \text{ cm}
\]

Từ đó, tính \(FC\) cần dùng thêm thông tin từ hình vẽ hoặc các tỉ lệ liên quan.

Kết quả cuối cùng sẽ là:

1. \(AE = \sqrt{7} \text{ cm}\)
2. \(BE = 4 - \sqrt{7} \text{ cm}\)
3. Từ định lý Sin để xác định \(FC\) nếu có thêm thông tin từ hình đi kèm.