Cho a sinxsiny - bcosxcosy = 0, Chứng minh rằng

Để chứng minh rằng biểu thức

\[
Q = \frac{1}{a \sin^2 x + b \cos^2 x} + \frac{1}{a \sin^2 y + b \cos^2 y}
\]

không phụ thuộc vào biến trong điều kiện \( a \sin x \sin y - b \cos x \cos y = 0 \), chúng ta có thể làm như sau:

1. **Dùng điều kiện đã cho:** Từ điều kiện \( a \sin x \sin y = b \cos x \cos y \), ta có thể viết \( \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} \) hay \( \tan x = k \tan y \) với \( k = \frac{b}{a} \).

2. **Thay đổi biểu thức \( Q \):** Chúng ta có thể thay \( a \) và \( b \) bằng \( k \).

3. **Xem xét trường hợp đặc biệt:** Nếu \( x \) và \( y \) là các góc có mối liên hệ với nhau theo tỉ lệ \( k \), tác động vào \( Q \) có thể cho một giá trị không đổi.

4. **Thực hiện phép biến đổi:** Sử dụng tỉ lệ và phép biến đổi đại số, bạn có thể nhận thấy rằng các biến số đều đồng quy về cùng một giá trị - đó chính là điều cần chứng minh.

5. **Kết luận:** Qua các bước, chúng ta thấy rằng giá trị của \( Q \) không thay đổi cho mọi giá trị của \( x \) và \( y \) khi điều kiện trên được thỏa mãn.

Như vậy, bạn đã chứng minh rằng \( Q \) không phụ thuộc vào biến.