Để giải bài toán này, ta sẽ từng bước chứng minh các yêu cầu.

### a) Chứng minh HDEI là hình chữ nhật.

1. **Chứng minh HDEI là hình tứ giác**:
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC.
- D là điểm trên tia HC sao cho HD = AH, nên DH = AH.
- EI là đường vuông góc với AH tại điểm I.

2. **Chứng minh các góc bằng nhau**:
- Góc HDE = 90° (do DE ⊥ BC).
- Góc HEI = 90° (do EI ⊥ AH).
- Từ đó, ta có 4 góc của tứ giác HDEI đều bằng 90°, nên HDEI là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AE = AB.

- Trong tam giác vuông ABC tại A, theo định nghĩa đường cao, ta có:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AH}
\]
- Do có H là chân đường cao nên AE = AB.

### c) Chứng minh GB = GC = AE.

- Gọi G là trung điểm của BE.
- Theo định nghĩa trung điểm, có:
\[
BG = GE \quad \text{(vì M là trung điểm)}
\]
- Ta có AE = AB, từ đó GB = GC = AE.

### d) Chứng minh \(\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}\).

1. Gọi BC = x, AH = h, HD = h thì HC = x - h.
2. Theo định lý tỷ lệ, ta có:
\[
\frac{BG}{BC} = \frac{HD}{HD + HC}
\]
3. Thay HD và HC ở trên vào, ta có:
\[
\frac{BG}{BC} = \frac{h}{h + (x - h)} = \frac{h}{x}
\]

Vậy các yêu cầu đã được chứng minh xong.