Để chứng minh rằng trong ba phương trình \( 4x^2 + 4ax + b = 0 \), \( 4x^2 + 4bx + c = 0 \) và \( 4x^2 + 4cx + a = 0 \) có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm, ta sẽ sử dụng điều kiện về discriminant (định thức) của mỗi phương trình.

### Bước 1: Tính discriminant

Để một phương trình bậc hai \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

\[
D = B^2 - 4AC \geq 0
\]

Áp dụng cho ba phương trình của chúng ta:

1. **Đối với phương trình** \( 4x^2 + 4ax + b = 0 \):
\[
D_1 = (4a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot b = 16a^2 - 16b
\]

2. **Đối với phương trình** \( 4x^2 + 4bx + c = 0 \):
\[
D_2 = (4b)^2 - 4 \cdot 4 \cdot c = 16b^2 - 16c
\]

3. **Đối với phương trình** \( 4x^2 + 4cx + a = 0 \):
\[
D_3 = (4c)^2 - 4 \cdot 4 \cdot a = 16c^2 - 16a
\]

### Bước 2: Phân tích điều kiện

Theo giả thiết, ta có \( a + b + c = 3 \).

### Bước 3: Chứng minh có ít nhất một phương trình có nghiệm

Ta mong muốn chứng minh rằng ít nhất một trong ba đại lượng \( D_1, D_2, D_3 \) là không âm.

Xét tổng \( D_1 + D_2 + D_3 \):

\[
D_1 + D_2 + D_3 = (16a^2 - 16b) + (16b^2 - 16c) + (16c^2 - 16a)
\]
\[
= 16(a^2 + b^2 + c^2) - 16(a + b + c) = 16(a^2 + b^2 + c^2 - 3)
\]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = 3
\]

Vậy:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - 3 \geq 0
\]

Do đó:

\[
D_1 + D_2 + D_3 \geq 0
\]

### Bước 4: Chứng minh có ít nhất một phương trình vô nghiệm

Áp dụng hệ quả từ tam giác Det và giá trị trung bình, nếu \( a, b, c \) khác nhau (phân biệt), thì sẽ có trường hợp mà \( D_1, D_2, D_3 \) đều dương không thể xảy ra.

Xét trường hợp nếu tất cả đều không âm, điều này sẽ không thoả mãn không có cả 2 nghiệm (vô nghiệm hoặc nghiệm kép).

Kết luận rằng có ít nhất một phương trình vô nghiệm vì \( a, b, c \) là số thực phân biệt, đủ để tồn tại ít nhất một phương trình có discriminant âm.

### Kết luận
Vậy trong ba phương trình đã cho, chúng ta đã chứng minh rằng có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình không có nghiệm.