Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC, vẽ điểm E sao cho I là trung điểm của EM. Chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và song song.

1. **Các điểm và tính chất của tam giác:**
- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác cân \( ABC \) với cạnh đáy \( BC \).
- Vì \( AM \) là trung tuyến, điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) và chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BM = MC \).
- Điểm \( I \) là trung điểm của đoạn \( AC \).

2. **Xác định vị trí của điểm E:**
- Điểm \( E \) được vẽ sao cho \( I \) là trung điểm của đoạn \( EM \). Do đó, ta có \( EI = IM \).

3. **Chứng minh các đường chéo:**
- Ta sẽ chứng minh rằng các cạnh đối diện \( AM \) và \( CE \) song song và bằng nhau, và \( AE \) và \( MC \) cũng song song và bằng nhau.

4. **Bằng nhau và song song:**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), và \( EM = 2 \cdot EI \) (vì \( I \) là trung điểm của \( EM \)), suy ra:
\[
EI = IM \quad \text{(1)}
\]
- Bởi vì \( A \) là đỉnh của tam giác cân, và \( M \) nằm chính giữa \( B \) và \( C \), nên từ tính chất của tam giác cân, ta có rằng \( AM \) vuông góc với \( BC \), do đó \( AM \perp EC \).

5. **Áp dụng định lý đường chéo:**
- Từ (1), ta có \( AM = CE \) và \( AE = IM \). Cả hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau và các cạnh của tứ giác AMCE vuông góc với nhau, cho thấy tứ giác AMCE là hình chữ nhật.

Tóm lại, ta có hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AMCE bằng nhau cũng như vuông góc. Do đó, tứ giác \( AMCE \) là hình chữ nhật.