Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ:

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng câu một.

### Câu 2:
Cho hai vectơ \(\mathbf{m} = (1; 0; -3)\) và \(\mathbf{n} = (0; 0; 3)\). Ta cần tìm một vectơ \(\mathbf{v}\) vuông góc với cả hai vectơ.

Hai vectơ \(\mathbf{m}\) và \(\mathbf{n}\) vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0:
\[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 3 = -9 \neq 0.
\]
Vậy hai vectơ này không vuông góc.

Để tìm một vectơ \( \mathbf{v} \) vuông góc với cả hai vectơ, ta sử dụng phép tích véctơ:
\[
\mathbf{v} = \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 3
\end{vmatrix}
\]
Tính toán, ta có:
\[
\mathbf{v} = (0 - 0)\mathbf{i} - (0 - (-3))\mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = 9\mathbf{j} = (0; 9; 0).
\]

Vậy vectơ \(\mathbf{v} = (0; 9; 0)\) là vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\mathbf{m}\) và \(\mathbf{n}\).

### Câu 3:
Cho ba điểm \(A(1; 2; -1)\), \(B(2; 1; -3)\), \(C(-3; 5; 1)\).

Ta có thể tính toán chiều dài các cạnh của tam giác ABC bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:

1. Tính \(AB\):
\[
AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.
\]

2. Tính \(AC\):
\[
AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}.
\]

3. Tính \(BC\):
\[
BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (5 - 1)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 16} = \sqrt{57}.
\]

Tam giác ABC là tam giác vuông nếu \(\sqrt{AB^2 + AC^2} = BC^2\) hoặc hoán vị khác giữa các cạnh.

Tính \(AB^2 + AC^2\):
\[
AB^2 + AC^2 = 6 + 29 = 35.
\]

Tính \(BC^2\):
\[
BC^2 = 57.
\]

Vì \(35 \neq 57\), tam giác ABC không vuông.

Kết luận: Vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\mathbf{m}\) và \(\mathbf{n}\) là \((0; 9; 0)\), và tam giác ABC không phải là tam giác vuông.