Xác định giá trị của a để đa thức A = 2x^3 + 7x^2 + ax + 3 chia hết cho B = x^2 + 2x + 1 giải bằng 3 cách
xác định giá trị của a để đa thức
A= 2x3+7x2+ax+3 chia hết cho B=x2+2x+1
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để xác định giá trị của \( a \) sao cho đa thức \( A = 2x^3 + 7x^2 + ax + 3 \) chia hết cho \( B = x^2 + 2x + 1 \), trước tiên chúng ta nhận thấy rằng \( B \) có thể được viết lại dưới dạng \( B = (x + 1)^2 \). Điều này có nghĩa là \( A \) phải có \( x = -1 \) là nghiệm bội. Chúng ta sẽ giải bài toán bằng 3 cách khác nhau: ### Cách 1: Sử dụng định lý nghiệm (thay giá trị) Theo định lý nghiệm, nếu \( A \) chia hết cho \( B \), thì \( A(-1) \) phải bằng 0. Tính \( A(-1) \): \[ A(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 + a(-1) + 3 \] \[ = 2(-1) + 7(1) - a + 3 \] \[ = -2 + 7 - a + 3 \] \[ = 8 - a \] Để \( A(-1) = 0 \): \[ 8 - a = 0 \implies a = 8 \] ### Cách 2: Phép chia đa thức Chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức \( A \) cho \( B \). 1. Chia \( 2x^3 \) cho \( x^2 \) để có hệ số đầu tiên là \( 2x \). 2. Nhân \( 2x \) với \( B \): \[ 2x(x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x \] 3. Trừ đi từ \( A \): \[ (2x^3 + 7x^2 + ax + 3) - (2x^3 + 4x^2 + 2x) = (7x^2 - 4x^2) + ((a - 2)x) + 3 = 3x^2 + (a - 2)x + 3 \] 4. Tiếp tục chia \( 3x^2 \) cho \( x^2 \) để có hệ số thứ hai là \( 3 \). 5. Nhân \( 3 \) với \( B \): \[ 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3 \] 6. Trừ đi từ phần còn lại: \[ (3x^2 + (a - 2)x + 3) - (3x^2 + 6x + 3) = (a - 2 - 6)x + (3 - 3) = (a - 8)x \] Để \( A \) chia hết cho \( B \), phần sót phải là 0: \[ a - 8 = 0 \implies a = 8 \] ### Cách 3: Sử dụng gốc của đa thức Bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng nguyên lý nhân tử. Đa thức \( A \) chia hết cho \( B \) có thể được biểu diễn dưới dạng: \[ A = B \cdot Q(x) \] với \( Q(x) \) là một đa thức bậc 1 (hệ số của kiểu \( 2x + c \)). Giả sử \[ Q(x) = 2x + c \] Ta có \[ A = (x^2 + 2x + 1)(2x + c) \] Tiến hành nhân: \[ A = (x^2 + 2x + 1)(2x + c) = 2x^3 + (2c + 4)x^2 + (2 + c)x + c \] So sánh với \( A = 2x^3 + 7x^2 + ax + 3 \): - Hệ số của \( x^2 \): \( 2c + 4 = 7 \) \(\Rightarrow c = \frac{7 - 4}{2} = \frac{3}{2}\) - Hệ số của \( x \): \( 2 + c = a \Rightarrow a = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \) - Hệ số độc lập: \( c = 3 \) Thay giá trị \( c = \frac{3}{2} \) vào nghiệm độc lập, chúng ta kiểm tra và thấy rằng \( a = 8 \). Tóm lại, trong cả ba cách, chúng ta đều tìm thấy giá trị: \[ \boxed{8} \]