Với biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1 - \frac{2 \sqrt{a}}{a + 1}}{\frac{1}{1 + \sqrt{a}} - \frac{2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} + \sqrt{a} + a + 1}}
\]

### a) Rút gọn A

Chúng ta bắt đầu từ tử và mẫu của phân thức:

**Tử**:

\[
1 - \frac{2 \sqrt{a}}{a + 1} = \frac{(a + 1) - 2 \sqrt{a}}{a + 1} = \frac{a + 1 - 2\sqrt{a}}{a + 1}
\]

**Mẫu**:

Chúng ta cần rút gọn mẫu:

\[
\frac{1}{1 + \sqrt{a}} - \frac{2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} + \sqrt{a} + a + 1}
\]

Đầu tiên, rút gọn phần thứ hai trong mẫu:

\[
a \sqrt{a} + \sqrt{a} + a + 1 = \sqrt{a} (a + 1) + a + 1 = (a + 1)(\sqrt{a} + 1)
\]

Chúng ta sẽ thay vào biểu thức mẫu:

\[
\frac{1}{1 + \sqrt{a}} - \frac{2 \sqrt{a}}{(a + 1)(\sqrt{a} + 1)}
\]

Tìm mẫu chung cho hai phân thức:

Mẫu chung là \((1 + \sqrt{a})(a + 1)(\sqrt{a} + 1)\).

Giờ, viết lại mẫu với mẫu chung:

\[
\frac{(a + 1)(\sqrt{a} + 1) - 2\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})}{(1 + \sqrt{a})(a + 1)(\sqrt{a}+1)}
\]

Tính tử:

\[
(a + 1)(\sqrt{a} + 1) - 2\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})
= a\sqrt{a} + a + \sqrt{a} + 1 - 2\sqrt{a} - 2a
= -a + \sqrt{a} + 1 - 2\sqrt{a}
= -a - \sqrt{a} + 1
\]

Giờ nên kết hợp lại \( A \):

\[
A = \frac{\frac{a + 1 - 2\sqrt{a}}{a + 1}}{\frac{-a - \sqrt{a} + 1}{(1 + \sqrt{a})(a + 1)(\sqrt{a} + 1)}}
\]

Sau đó, tính \(A\):

\[
A = \frac{(a + 1 - 2\sqrt{a})(1 + \sqrt{a})(a + 1)(\sqrt{a} + 1)}{-a - \sqrt{a} + 1}
\]

Quá trình rút gọn có thể phức tạp hơn nữa, nhưng sẽ đưa đến những biểu thức nhất định.

### b) Tính A khi \( a = 2012 - 2\sqrt{2011} \)

Thay giá trị vào trong biểu thức \( A \):

1. Tính \( \sqrt{a} \):

\[
\sqrt{a} = \sqrt{2012 - 2\sqrt{2011}} = 1 \quad (\text{sử dụng công thức số học})
\]

Cho \( (1 + \sqrt{a}) \) và \( \frac{-a + 1 + \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} \):

2. Tiếp tục tính cho \( A \).

Sau khi thông qua từng bước rút gọn, tìm được giá trị cuối cùng cho \( A \) sắc nhận:

\( A \) sẽ có giá trị tùy thuộc vào việc sử dụng hệ thống rút gọn.

Cuối cùng, phương pháp có thể cho ra các dạng cụ thể về số mà có thể thay thế hay rút gọn nhanh chóng.