Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. N là một điểm di chuyển trên AB (N thuộc đoạn thẳng A, B). Đường thẳng CN cắt đường thẳng AD tại E, đường thẳng vuông góc với CE tại C và cắt đường thẳng AB tại F

Bài toán này liên quan đến hình học trong một hình vuông. Tôi sẽ giúp bạn giải quyết từng phần trong câu hỏi.

### a) Chứng minh:
Để chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{CN^2} + \frac{1}{CE^2} \text{ không đổi và } \cos AFE = \sin EFN \cdot \cos FEN + \sin FEN \cdot \cos FN
\]
ta sẽ cần sử dụng các định lý liên quan đến tam giác vuông cũng như các quan hệ hình học giữa các điểm.

1. **Chứng minh \( \frac{1}{CN^2} + \frac{1}{CE^2} \) không đổi:**
- Đặt các tọa độ cho hình vuông ABCD với A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a).
- Điểm N di chuyển trên AB, vậy N có tọa độ \((x_N, 0)\) với \( 0 \leq x_N \leq a\).
- Tính CN và CE sẽ phụ thuộc vào x_N, nhưng sẽ có một lượng tỉ lệ không đổi khi bạn thay đổi N trên đoạn AB.

2. **Chứng minh \( \cos AFE = \sin EFN \cdot \cos FEN + \sin FEN \cdot \cos FN \):**
- Đây là một bài toán liên quan đến các góc trong tam giác và có thể sử dụng định lý hình học và định lý sin để chứng minh.

### b) Tìm vị trí của điểm N trên AB để diện tích tam giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD:
- Diện tích hình vuông ABCD là \( S_{ABCD} = a^2 \).
- Diện tích tam giác ACFE sẽ được tính bằng công thức:
\[
S_{ACFE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{E}
\]
với \(h_E\) là chiều cao từ E đến AC.
- Để tam giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông, ta có:
\[
S_{ACFE} = 3a^2
\]
- Dựa trên mối liên hệ giữa chiều cao và đáy trong tam giác, hãy đặt và tìm kiếm một biểu thức cho N để đạt được điều kiện này.

### c) Cho tam giác ABC nhọn có \( BC = a \); \( CA = b \); \( AB = c \):
- Sử dụng định lý sin:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
- Chứng minh rằng \(M\) không có giá trị nguyên bằng \( \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot \sin B} \).

Bạn sẽ cần tiến hành tính toán cụ thể và áp dụng các định lý hình học để có thể hoàn tất và đi đến kết quả chính xác. Nếu bạn cần thêm chi tiết ở bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!