Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1 \quad (1) \\
\frac{2}{x} + \frac{4}{y} = 5 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta sẽ biến đổi các phương trình này để tìm giá trị của \(x\) và \(y\).

### Bước 1: Biến đổi phương trình (1)

Từ phương trình (1):

\[
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1
\]

Viết lại như sau:

\[
\frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{y}
\]

### Bước 2: Biến đổi phương trình (2)

Từ phương trình (2):

\[
\frac{2}{x} + \frac{4}{y} = 5
\]

Thay thế \(\frac{1}{x}\) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\[
2 \cdot (1 + \frac{1}{y}) + \frac{4}{y} = 5
\]

### Bước 3: Giải phương trình

Phương trình trở thành:

\[
2 + \frac{2}{y} + \frac{4}{y} = 5
\]

Tóm gọn lại:

\[
2 + \frac{6}{y} = 5
\]

\[
\frac{6}{y} = 3
\]

Suy ra:

\[
y = 2
\]

### Bước 4: Tìm giá trị của x

Thay \(y = 2\) vào phương trình (1):

\[
\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 1
\]

Suy ra:

\[
\frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

Điều này dẫn đến:

\[
x = \frac{2}{3}
\]

### Kết quả

Giá trị của \(x\) và \(y\) là:

\[
x = \frac{2}{3}, \quad y = 2
\]

Hệ phương trình có nghiệm: \((x, y) = \left(\frac{2}{3}, 2\right)\).