Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật và tứ giác HBAE là hình bình hành:

1. **Tứ giác AHCE là hình chữ nhật**:
- Trong tam giác cân ABC tại A, trung tuyến AH sẽ chia BC thành hai đoạn bằng nhau (do AH là trung tuyến).
- Vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC. Tương tự, K là trung điểm của AB, nên AK = KB.
- Từ đó, ta có AH // CE và AH = CE (do AH là trung tuyến); đồng thời, AI // HE với AI = IE (vì I là trung điểm của HE).
- Vậy AHCE có 2 cặp cạnh song song vừa bằng nhau, do đó AHCE là hình chữ nhật.

2. **Tứ giác HBAE là hình bình hành**:
- Trong tứ giác HBAE, ta có HB // AE (do H là điểm thuộc cạnh AB và chúng ta biết AB // AC).
- H lại là trung điểm của AB, A và E là hai điểm trên một đường thẳng với I là trung điểm của HE.
- Vì H và A cùng nằm trong hình chữ nhật AHCE, HBAE cũng có 2 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó HBAE là hình bình hành.

### b. Chứng minh tứ giác AKHI là hình thoi:

- Để chứng minh tứ giác AKHI là hình thoi, ta cần chứng minh rằng 4 cạnh của tứ giác này bằng nhau.
- Do AH là trung tuyến và H là trung điểm của BC:
- AI = IC và AK = KB (do I và K là trung điểm của AC và AB).
- AH = HK (do AH = HK, vì H và K nằm trên một đường thẳng).
- Vì AI = IC mà AE = AH (từ tứ giác AHCE) nên chúng ta có AK = KI = AI = AH.
- Do đó, AKHI là hình thoi với 4 cạnh bằng nhau.

### c. Điều kiện để tam giác AHCE trở thành hình vuông:

- Để tứ giác AHCE là hình vuông, không chỉ cần nó là hình chữ nhật mà còn phải thỏa mãn điều kiện tất cả các góc đều 90 độ.
- Đến đây có thể kết luận rằng:
- Để AHCE là hình vuông, ta cần có điều kiện thêm về độ lớn của tam giác ABC, cụ thể là tam giác ABC phải là tam giác cân vuông tại A.
- Điều này có nghĩa là cần có ∠CAB = 90° để AHCE trở thành hình vuông.

Tóm lại, tam giác ABC cân tại A có thêm điều kiện là vuông tại A thì tứ giác AHCE sẽ là hình vuông.