Tìm tập giá trị của biểu thức

Để tìm tập giá trị của biểu thức \( \sqrt{\frac{9 - 8x + x^2}{-5x - 1}} \), chúng ta cần xét điều kiện để biểu thức bên trong căn bậc hai không âm và mẫu số khác 0.

1. **Xác định điều kiện không âm cho căn**:
\[
\frac{9 - 8x + x^2}{-5x - 1} \geq 0
\]

- **Mẫu số**:
\[
-5x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{5}
\]

- **Tử số**:
\[
9 - 8x + x^2 \geq 0
\]
Ta có thể viết lại tử số dưới dạng:
\[
x^2 - 8x + 9
\]
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28
\]
Ta có 2 nghiệm:
\[
x_1 = \frac{8 - \sqrt{28}}{2} = 4 - \sqrt{7}
\]
\[
x_2 = \frac{8 + \sqrt{28}}{2} = 4 + \sqrt{7}
\]

Tử số \( 9 - 8x + x^2 \) sẽ không âm trên đoạn \( (-\infty, 4 - \sqrt{7}] \cup [4 + \sqrt{7}, +\infty) \).

2. **Tìm khoảng cho mẫu**:
\[
-5x - 1 < 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{5}
\]

3. **Xác định giao điểm**:
Ta cần tìm giao điểm giữa hai miền:
- Tử số không âm: \( (-\infty, 4 - \sqrt{7}] \cup [4 + \sqrt{7}, +\infty) \)
- Mẫu số dương: \( x > -\frac{1}{5} \)

Kiểm tra:
- Với \( 4 - \sqrt{7} \approx 2.354 \), điều kiện này thỏa cho khoảng \( (-\frac{1}{5}, 4 - \sqrt{7}] \).
- Với \( 4 + \sqrt{7} \approx 5.646 \), phần này nằm hoàn toàn ngoài miền hợp lý.

4. **Kết luận**:
Tập giá trị của biểu thức là:
\[
\left(-\frac{1}{5}, 4 - \sqrt{7}\right] \cup \left(4 + \sqrt{7}, +\infty\right)
\]