Để chứng minh các tính chất đã cho trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất và định lý cơ bản trong hình học, đặc biệt là về tam giác và đường thẳng song song.

### a) Chứng minh \( AM = IK \)

- M là trung điểm của \( AB \), tức là \( AM = MB \).
- Đường thẳng qua \( M \) và song song với \( BC \) cắt \( AC \) ở \( I \), theo tính chất đường thẳng song song, ta có \( \triangle AMI \sim \triangle KMI \).
- Từ sự tương đồng này và việc kiến thức \( AM = MB \), ta có \( AM = IK \).

### b) Chứng minh \( \triangle AMI \cong \triangle IKC \)

- Theo chiều hướng giống như trên:
- Vì \( AM = IK \) (đã chứng minh ở trên).
- Hai góc \( \angle AMI = \angle KIC \) (bởi áp dụng góc đồng vị do có đường thẳng song song).
- Cuối cùng, \( \angle A = \angle K \) do cùng góc tại đỉnh.
- Suy ra từ giả thuyết, \( \triangle AMI \cong \triangle IKC \) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (C.G.C).

### c) Chứng minh \( AI = IC \)

- Ta có đường thẳng \( AI \) cắt \( AC \) tại \( I \), từ việc \( M \) là trung điểm của \( AB \) và các đường thẳng song song, ta nhận thấy rằng \( I \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \).
- Do đó, \( AI = IC \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh rằng:

a) \( AM = IK \)

b) \( \triangle AMI = \triangle IKC \)

c) \( AI = IC \)

Bằng cách sử dụng các định lý và tính chất song song trong tam giác, ta có thể khẳng định các mối quan hệ cần thiết trong bài toán này.