Để chứng minh các bất đẳng thức đã nêu, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản và định lý trong bất đẳng thức.

### Bài 15:
Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)
\]

**Chứng minh:**

1. **Bất đẳng thức bên trái:**

Bất đẳng thức đầu tiên:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]
Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz, chúng ta có:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2
\]
Hay:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]

2. **Bất đẳng thức bên phải:**

Bất đẳng thức thứ hai:
\[
(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)
\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các cặp \( ab, ac, bc \):
\[
ab + ac + bc \leq \frac{(a + b + c)^2}{3}
\]
Như vậy:
\[
3(ab + ac + bc) \leq (a + b + c)^2
\]

### Bài 16:
Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức:
\[
x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} \geq 2xy
\]

**Chứng minh:**

1. **Bất đẳng thức bên trái:**

Bất đẳng thức đầu tiên:
\[
x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2}
\]
Chúng ta có:
\[
2(x^2 + y^2) \geq (x + y)^2
\]
Multiplying both sides by 2, chúng ta có:
\[
2x^2 + 2y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2 \implies x^2 + y^2 \geq 2xy
\]
nên từ điều này suy ra

2. **Bất đẳng thức bên phải:**

Bất đẳng thức thứ hai:
\[
\frac{(x + y)^2}{2} \geq 2xy
\]
Chúng ta đã chứng minh bên trên. Nếu thực hiện lại từ đầu (x + y)^2 nên công thức:
\[
(x + y)^2 \geq 4xy
\]

### Bài 21:

**A)** Chứng minh:
\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]
=> Chúng ta có:
\[
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2 \implies a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

**B)** Chứng minh:
\[
3(a^2+b^2+c^2) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)
\]
Giống như phần chứng minh ở bài 15, chúng ta đã chứng minh.

Tóm tắt lại, tất cả các bất đẳng thức được nêu đều có thể chứng minh dựa vào các định lý và thuộc tính trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM.