Cho hình thang vuông ABCD ( góc A = góc D = 90 độ ), có AB = 1/2 CD, gọi H là hình chiếu của D lên AC, gọi M; N là trung điểm của HC và HD

Để giải bài toán này, ta cần xây dựng các bước để chứng minh các phần yêu cầu.

### 1. Chứng minh ABMN là hình thang vuông

Hình thang vuông ABCD có AB // CD, và góc A = góc D = 90 độ.

- Ta đã có AB = 1/2 CD. Vì vậy, giả sử:
- CD = b (với b = 16 cm theo yêu cầu)
- AB = 1/2 * CD = 1/2 * 16 = 8 cm.

- Xét tam giác DAB và H:
- M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HD.

- Ta cần chứng minh rằng ABMN cũng là hình thang vuông.

**Chứng minh:**
- Hình thang vuông ABMN có góc A và góc B là góc vuông do tính chất của hình thang vuông.
- Để chứng minh ABMN là hình thang, ta cần chỉ ra rằng AB // MN.

Xét các điểm:

- H là hình chiếu của D lên AC.
- Do góc A = 90 độ, nên AC vuông góc với cả AB và AD.

Nên suy ra rằng, ABMN là hình thang vuông với các cạnh song song.

### 2. Chứng minh N là trực tâm của tam giác AMD

Để chứng minh N là trực tâm của tam giác AMD, ta cần chứng minh rằng N nằm trên đường cao từ M tới cạnh AD.

**Chứng minh:**
- N là trung điểm của HD, nên phân đoạn DN vuông góc với AC.
- Gọi G là giao điểm của AM và DN.

Vì AD là hình chiếu vuông góc của D xuống AC, DN là đường vuông góc từ D đến AC, nên N là trực tâm của tam giác AMD.

### 3. Tính diện tích S(ABCD)

Diện tích của hình thang ABCD được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]

- Với AB = 8 cm, CD = 16 cm, và chiều cao h = AD = 6 cm, ta có:

\[
S = \frac{(8 + 16) \cdot 6}{2} = \frac{24 \cdot 6}{2} = \frac{144}{2} = 72 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được:
1. ABMN là hình thang vuông.
2. N là trực tâm của tam giác AMD.
3. Diện tích S(ABCD) là \( 72 \text{ cm}^2 \).