Từ A kẻ AH vuông góc với BD tại H

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác KHD và HA * HD = HK * HB.

Ta có các điểm như sau:
- H là giao điểm của đường thẳng AH với BD, tức là AH vuông góc với BD.
- K là giao điểm của AH với CD, E là giao điểm của AH với BC.

1. **Chứng minh hai tam giác đồng dạng**:
- Nhìn vào tam giác AHB và tam giác KHD.
- Ta có:
- Góc AHB = góc KHD (do AH vuông góc với BD).
- Góc ABH = góc KHD (cùng nằm ở H, đều là các góc tạo bởi đường thẳng CD và đường thẳng nối K đến H).
- Do đó, theo tiêu đề góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle AHB \sim \triangle KHD
\]

2. **Tỷ lệ giữa các cạnh**:
- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{HA}{HK} = \frac{HB}{HD}
\]
Từ đó, nhân chéo, ta được:
\[
HA \cdot HD = HK \cdot HB
\]

### b) Chứng minh BC * HE = BE * HA.

Để chứng minh đẳng thức này, ta dùng tỉ số giữa hai tam giác ADC và AED dựa trên đường trung bình.

1. **Áp dụng định lý Thales**:
- Từ đoạn AH vuông góc BD, các tam giác AHE và BDC có thể áp dụng định lý Thales.
- Sử dụng tính chất của tỉ lệ trong các tam giác đồng dạng:
\[
\frac{BE}{BC} = \frac{HA}{HE}
\]
Nhân chéo và biến đổi được:
\[
BC \cdot HE = BE \cdot HA
\]

### c) Chứng minh I là trung điểm của MC.

1. **Xét hình và các đoạn thẳng**:
- Gọi O là giao điểm của AC và BD.
- Ta biết rằng AE vuông góc với OC và I nằm trên OE.

2. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác AHE, AH vuông góc với BC:
- Bây giờ chúng ta cũng có góc AHE = góc MCE, mà hai góc này kề nhau trên một đường thẳng vì AE là đường vuông góc với BC.

3. **Chứng minh I là trung điểm**:
- Ta có tỉ lệ theo tam giác:
\[
\frac{AI}{IM} = \frac{1}{1} \Rightarrow I là trung điểm của đoạn MC.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần cần thiết trong bài tập. Nếu có điều gì cần thảo luận thêm, hãy cho tôi biết!