Trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) vuông và \(AH\) vuông góc với \(BC\), ta có các thông tin sau:

- \(AB = \sqrt{2}\) cm
- \(HC = 3\) cm

Chúng ta cần tính \(BH\).

Trước tiên, từ tam giác vuông \(ABC\), ta có thể áp dụng định lý Pythagore để tính \(AC\):

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Nhưng trước hết, hãy đặt \(BH = x\). Do đó, \(BC\) sẽ bằng \(BH + HC = x + 3\).

Giả sử \(H\) là điểm phân giác trên \(BC\) và sử dụng định lý Pyhthagore trong các tam giác \(ABH\) và \(ACH\):

Trong tam giác \(ABH\):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
(\sqrt{2})^2 = AH^2 + x^2
\]
\[
2 = AH^2 + x^2 \quad (1)
\]

Trong tam giác \(ACH\):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + 3^2 = AH^2 + 9
\]

Bây giờ, từ \(BC\) ta cũng có:
\[
BC = BH + HC = x + 3
\]
Sử dụng \(BC\) trong định lý Pythagore với tam giác \(ABC\):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
\[
AC^2 = 2 + (x + 3)^2
\]
\[
AC^2 = 2 + (x^2 + 6x + 9) = x^2 + 6x + 11 \quad (2)
\]

Bây giờ từ (1) và (2) ta có:
\[
AH^2 + 9 = x^2 + 6x + 11
\]
Từ (1), ta có \(AH^2 = 2 - x^2\). Thay vào (2):
\[
2 - x^2 + 9 = x^2 + 6x + 11
\]
\[
11 - x^2 = x^2 + 6x + 11
\]
\[
0 = 2x^2 + 6x + 0
\]
\[
0 = 2x^2 + 6x
\]

Tức là:
\[
x(2x + 6) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } 2x + 6 = 0 \implies x = -3
\]

Xét các điều kiện thực tế, thì \(BH = 0\) cm.

Vậy giải pháp duy nhất là:
\[
BH = 0 \text{ cm.}
\]