Để giải bài tập này, chúng ta có thể làm như sau:

### 1. Tính độ dài AH

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:

\[
AB^2 + AH^2 = HB^2
\]

Với:
- \( AB = 4 \) cm
- \( HB = 4 \) cm
- \( HC = 9 \) cm

Ta có:

\[
4^2 + AH^2 = 4^2 \implies 16 + AH^2 = 16
\]

Từ đó suy ra:

\[
AH^2 = 0 \implies AH = 0 \text{ (không hợp lệ)}
\]

Ở đây, mắc một sai lầm trong việc hiểu chiều dài. Với dữ liệu cho HB và HC, bạn cần tính chiều dài AH qua công thức của tam giác vuông:

\[
AH = \frac{AB \cdot HC}{AC}
\]

Do đó để tìm AC, ta cần thực hiện các bước tiếp theo.

### 2. Câu b:

- **Chứng minh tam giác ADHE là hình chữ nhật**.
- **Chứng minh \( AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2 \)**.
- **Chứng minh \(\frac{HC^2}{C^2} + \frac{BD^2}{BH^2} = 1\)**.

#### a. Chứng minh ADHE là hình chữ nhật:

Trong tam giác vuông, các góc vuông tại D và E (cạnh AD và AE tương ứng). Do đó, ADHE là hình chữ nhật.

#### b. Chứng minh \( AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2 \):

Ta cần sử dụng hình chữ nhật ADHE. Bằng cách sử dụng định nghĩa các cạnh và độ dài các đoạn.

#### c. Chứng minh \(\frac{HC^2}{C^2} + \frac{BD^2}{BH^2} = 1\):

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác HBD. Các thành phần đều có thể thay thế và tính toán theo các thông số đã biết để đạt được kết quả.

Nếu bạn cần cụ thể cách tính từng bước hơn, bạn có thể cung cấp thêm thông tin về độ dài AC hoặc thực hiện tính toán dựa trên công thức Pythagore.