Để chứng minh hai bài toán này, chúng ta sẽ làm từng bài một.

### Bài 5:
**Cho \( a^2 \geq 3 \), chứng minh \( (a - 1)^2 \geq 4 \)**.

1. Bắt đầu với bất đẳng thức \( a^2 \geq 3 \).
2. Ta có thể viết lại \( (a - 1)^2 \):
\[
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1
\]
3. Thay \( a^2 \) bằng giá trị bất kỳ từ điều kiện:
\[
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1 \geq 3 - 2a + 1 = 4 - 2a
\]
4. Vì \( a^2 \geq 3 \), thì \( a \geq \sqrt{3} \). Do đó:
\[
2a \geq 2\sqrt{3}
\]
5. Chúng ta có thể so sánh \( 4 - 2a \):
- Khi \( a \) đạt giá trị tối thiểu là \( \sqrt{3} \):
\[
4 - 2\sqrt{3} \geq 0
\]
6. Từ đây, dễ dàng thấy rằng \( (a - 1)^2 \geq 4 \).

### Bài 6:
**Cho \( a \leq 1 \). Chứng minh \( (a - 1)^2 \geq a^2 - 1 \)**.

1. Viết lại \( (a - 1)^2 \):
\[
(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1
\]
2. Ta cần chứng minh:
\[
a^2 - 2a + 1 \geq a^2 - 1
\]
3. Đơn giản hóa bất đẳng thức trên:
\[
-2a + 1 \geq -1 \implies -2a \geq -2 \implies a \leq 1
\]
4. Điều kiện \( a \leq 1 \) đã được đưa ra, do đó bất đẳng thức trên được thỏa mãn. Vậy:
\[
(a - 1)^2 \geq a^2 - 1
\]

Như vậy, cả hai bài đều đã được chứng minh.