Để giải bài toán này, ta cần xác định số lượng chi tiết mà mỗi tổ sản xuất trong tháng đầu tiên và tháng thứ hai dựa trên hiệu suất tăng lên.

1. **Tháng thứ nhất**:
- Tổng số chi tiết máy sản xuất: 800 chi tiết.

2. **Tháng thứ hai**:
- Tổ sản xuất thứ nhất tăng 15%, tổ sản xuất thứ hai tăng 20%.
- Gọi số chi tiết do tổ thứ nhất sản xuất trong tháng thứ nhất là \( x \) và tổ thứ hai là \( 800 - x \).

- Trong tháng thứ hai, số chi tiết tổ thứ nhất sản xuất là \( x \times (1 + 0.15) = 1.15x \).
- Số chi tiết tổ thứ hai sản xuất là \( (800 - x) \times (1 + 0.20) = 1.2(800 - x) \).

- Tổng sản xuất trong tháng thứ hai là 945 chi tiết:

\[
1.15x + 1.2(800 - x) = 945
\]

- Rút gọn phương trình:
\[
1.15x + 960 - 1.2x = 945
\]
\[
-0.05x + 960 = 945
\]
\[
-0.05x = -15
\]
\[
x = \frac{-15}{-0.05} = 300
\]

3. **Số lượng chi tiết của mỗi tổ trong tháng thứ nhất**:
- Tổ thứ nhất: \( x = 300 \)
- Tổ thứ hai: \( 800 - x = 500 \)

4. **Sản xuất trong tháng thứ nhất**:
- Tổ thứ nhất sản xuất 300 chi tiết.
- Tổ thứ hai sản xuất 500 chi tiết.

5. **Sản xuất trong tháng thứ hai**:
- Tổ thứ nhất: \( 300 \times 1.15 = 345 \) chi tiết.
- Tổ thứ hai: \( 500 \times 1.2 = 600 \) chi tiết.
- Tổng cộng: \( 345 + 600 = 945 \) chi tiết, đúng với đề bài.

**Kết luận**: Trong tháng thứ nhất, tổ sản xuất thứ nhất sản xuất 300 chi tiết, tổ thứ hai sản xuất 500 chi tiết.