Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình trên

Để tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

\[
\begin{cases}
x + my = 9 \quad (1) \\
mx + 3y = 27 \quad (2)
\end{cases}
\]

**a. Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất:**

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ma trận hệ số của hệ phương trình trên là:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & m \\
m & 3
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận \( A \) được tính như sau:

\[
\text{det}(A) = 1 \cdot 3 - m \cdot m = 3 - m^2
\]

Hệ có nghiệm duy nhất khi:

\[
3 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 3 \implies m \neq \sqrt{3} \text{ và } m \neq -\sqrt{3}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất là:

\[
m \neq \sqrt{3} \quad \text{và} \quad m \neq -\sqrt{3}
\]

**b. Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình:**

Để tìm nghiệm duy nhất, chúng ta có thể chọn một giá trị cho \( m \). Giả sử \( m = 1 \):

Hệ phương trình sẽ trở thành:

\[
\begin{cases}
x + y = 9 \\
x + 3y = 27
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1):

\[
x + y = 9 \implies x = 9 - y
\]

Thay \( x \) vào phương trình (2):

\[
(9 - y) + 3y = 27
\]
\[
9 + 2y = 27 \implies 2y = 18 \implies y = 9
\]
Thay \( y \) về phương trình (1):

\[
x + 9 = 9 \implies x = 0
\]

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là \( (x,y) = (0,9) \).

**c. Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất, thỏa mãn: \( x + y = 2 \)**:

Từ (1), ta muốn có:

\[
x + y = 2
\]

Vì phương trình thứ nhất là:

\[
x + my = 9 \implies x + y = 2 \implies y = 2 - x
\]

Thay vào phương trình (1):

\[
x + m(2 - x) = 9
\]
\[
x + 2m - mx = 9
\]
\[
(1 - m)x + 2m = 9
\]
\[
(1 - m)x = 9 - 2m
\]
\[
x = \frac{9 - 2m}{1 - m}
\]

Ta cũng cần \( y = 2 - x \), do đó:

\[
y = 2 - \frac{9 - 2m}{1 - m} = \frac{2(1 - m) - (9 - 2m)}{1 - m} = \frac{2 - 2m - 9 + 2m}{1 - m} = \frac{-7}{1 - m}
\]

Hệ sẽ có nghiệm duy nhất khi \( 1 - m \neq 0 \) tức là \( m \neq 1 \).

Như vậy, \( m \) có thể nhận giá trị thoải mái trừ 2 giá trị đã chỉ ra ở trên \( \sqrt{3}, -\sqrt{3} \), nhưng muốn có nghiệm thoả mãn \( x + y = 2 \), cần điều kiện \( m \neq 1 \) và thỏa mãn cả \( m \neq \sqrt{3}, -\sqrt{3} \).

Ngoài ra, ta phải khảo sát các giá trị cụ thể cho \( m \) (không trùng với m=1) để tìm ra nghiệm thoả mãn điều kiện \( x + y = 2 \).