Chúng ta sẽ giải lại bài toán theo từng phần như bạn yêu cầu.

a) **Chứng minh \(AD = BC\) và \(AB = DC\)**

- Vì đường thẳng qua A song song với BC nên tạo thành hai tam giác đồng dạng: \(\triangle ABD \sim \triangle CDB\).
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AD}{BC} = \frac{AB}{CB}
\]

Vì \(CB = AC\) (theo định nghĩa đoạn thẳng), tổ hợp lại ta có:

\[
AD = BC \text{ (Chứng minh dựa trên tỷ lệ đồng dạng)}
\]

- Tương tự, vì đường thẳng qua C song song với AB nên ta có:

\[
\triangle CDA \sim \triangle BCA
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{DC}{BC}
\]

Khi thay thế \(AC\) và \(BC\) phù hợp, ta sẽ được

\[
AB = DC \text{ (Chứng minh dựa trên tỷ lệ đồng dạng)}
\]

b) **Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh \(AM = CN\)**

- Với \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(AD\), chúng ta có thể xét hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle CND\).
- Vì \(AB = DC\) và \(AD = BC\) (đã chứng minh ở phần a), ta có tỷ lệ:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{CN}{ND} = \frac{1}{1} = 1
\]

Suy ra \(AM = CN\).

c) **Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh \(OA = OC\) và \(OB = OD\)**

- Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng định lý giao điểm của hai đường thẳng.
- Đường thẳng \(AC\) song song với \(BD\) nghĩa là \(\triangle AOD \sim \triangle COD\) vì cùng ôm một góc phải và hình chiếu của chúng trên đường thẳng \(AD\) bằng nhau.
- Từ đó, ta suy ra:

\[
OA = OC \text{ và } OB = OD
\]

d) **Chứng minh \(M, D, N\) thẳng hàng**

- Từ các điểm \(M\), \(D\), và \(N\) trên các tỷ lệ đã chứng minh ta có thể cho rằng \(M\) là trung điểm của \(AD\) hoặc \(BC\).

- Suy ra rằng \(M\), \(N\) và \(D\) thỏa mãn tính chất song song, và vì vậy chúng thẳng hàng.

- Hơn nữa, từ \(AD\) và \(BC\) song song, \(M\) và \(N\) đều nằm trên một đường thẳng song song với \(AD\).

Hy vọng rằng giải thích này đã chỉ rõ các bước trong bài toán chứng minh hình học.