Để giải bài toán tìm số nguyên \( x \) trong từng phương trình, ta có thể sử dụng quy tắc về các số mũ. Dưới đây là cách giải từng bài:

1. **\( 2^x = 4^{5/3} \)**
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 4^{5/3} = (2^2)^{5/3} = 2^{10/3} \)
- Suy ra \( x = \frac{10}{3} \) (Không phải số nguyên)

2. **\( 2^x = 4^{6} \cdot 16^{3} \)**
- \( 4 = 2^2, 16 = 2^4 \)
- \( 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}, 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \)
- \( 2^x = 2^{12} \cdot 2^{12} = 2^{24} \)
- Suy ra \( x = 24 \)

3. **\( 2^x = 4^{5} \cdot 16^{2} \)**
- \( 4^5 = 2^{10}, 16^2 = 2^8 \)
- \( 2^x = 2^{10} \cdot 2^8 = 2^{18} \)
- Suy ra \( x = 18 \)

4. **\( 2^x = 2^{5} \cdot 2^{6} \)**
- \( 2^x = 2^{5+6} = 2^{11} \)
- Suy ra \( x = 11 \)

5. **\( 2^x = 4^{2} \cdot 2^{3} \)**
- \( 4^2 = 2^4 \)
- \( 2^x = 2^4 \cdot 2^3 = 2^{7} \)
- Suy ra \( x = 7 \)

6. **\( 2^x = 16^3 \cdot 32^{3} \)**
- \( 16 = 2^4, 32 = 2^5 \)
- \( 16^3 = 2^{12}, 32^3 = 2^{15} \)
- \( 2^x = 2^{12} \cdot 2^{15} = 2^{27} \)
- Suy ra \( x = 27 \)

7. **\( 2^x = 32^{2} \cdot 64^{6} \)**
- \( 32^2 = 2^{10}, 64^6 = 2^{30} \)
- \( 2^x = 2^{10} \cdot 2^{30} = 2^{40} \)
- Suy ra \( x = 40 \)

8. **\( 2^x = 4^{3} \cdot 8^{4} \cdot 16^{5} \)**
- \( 4^3 = 2^6, 8^4 = 2^{12}, 16^5 = 2^{20} \)
- \( 2^x = 2^{6+12+20} = 2^{38} \)
- Suy ra \( x = 38 \)

9. **\( 2^x = 9^{-6} \cdot 27^{-5} \cdot 81^{-8} \)**
- \( 9 = 3^2, 27 = 3^3, 81 = 3^4 \)
- Ta có: \( 9^{-6} = 3^{-12}, 27^{-5} = 3^{-15}, 81^{-8} = 3^{-32} \)
- \( 9^{-6} \cdot 27^{-5} \cdot 81^{-8} = 3^{-59} \) (không quy về \( 2^x \))

10. **\( 2^x = 8^{3} \cdot 10^{-3} \cdot 8^{-3} \)**
- \( 8^3 = 2^9, 10^{-3} = 10^{-3} \)
- Không thực hiện được với giá trị hợp lý.

11. **\( 2^x = \frac{4^7}{8^3} \)**
- \( 4^7 = 2^{14}, 8^3 = 2^9 \)
- \( 2^x = \frac{2^{14}}{2^9} = 2^{5} \)
- Suy ra \( x = 5 \)

12. **\( 2^x = \frac{4^7}{4^3} \)**
- Suy ra \( 2^x = 4^{7-3} = 4^4 = 2^8 \)
- Suy ra \( x = 8 \)

Tóm lại các giá trị \( x \):
1. Không phải số nguyên
2. \( x = 24 \)
3. \( x = 18 \)
4. \( x = 11 \)
5. \( x = 7 \)
6. \( x = 27 \)
7. \( x = 40 \)
8. \( x = 38 \)
9. Không quy về 2
10. Không quy về 2
11. \( x = 5 \)
12. \( x = 8 \)