Để giải bài toán này, tôi sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ hình và đưa ra các bước cần thiết để giải từng câu hỏi. Tuy nhiên, xin lưu ý rằng tôi không thể vẽ hình trực tiếp.

### Bước 1: Vẽ hình

**1. Vẽ tam giác ABC:**
- Vẽ tam giác vuông ABC với A là đỉnh vuông. Đặt điểm A tại gốc tọa độ (0,0), điểm B tại (5,0) và điểm C tại (0, h) sao cho AB = 5 cm và BC = 13 cm.
- Sử dụng định lý Pythagore, tính độ cao AH:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]
- Vậy tọa độ C là (0, 12).

**2. Vẽ đường cao AH:**
- Đường cao AH sẽ từ A đến cạnh BC.

### Bước 2: Tính độ dài các cạnh và số đo góc

**a) Tính AH và góc BAH:**
- Để tính AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \text{ cm}
\]

- Để tính góc BAH:
\[
\tan(\angle BAH) = \frac{AH}{AB} \implies \angle BAH = \tan^{-1}\left(\frac{AH}{AB}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{60/13}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)
\]

### Bước 3: Chứng minh 4 điểm nằm trên một đường tròn

**b) với O là trung điểm AC và K là hình chiếu của O trên BC:**
- Tọa độ O sẽ là trung điểm giữa A và C:
\[
O = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 12}{2}\right) = (0, 6)
\]
- K là hình chiếu của O trên BC, vì BC là đường thẳng, nên tìm tọa độ K.

- Chứng minh A, B, O, K cùng nằm trên một đường tròn, ứng dụng định lý về hình học hình tròn trong tam giác.

### Bước 4: Chứng minh đồng dạng và thẳng hàng

**c) Các tam giác đồng dạng:**
- Chứng minh tam giác ABO đồng dạng với tam giác CAM sử dụng định lý cạnh - góc - cạnh (khả năng này sẽ được chứng minh thông qua tỉ lệ cạnh).

- Chứng minh ba điểm O, K, M thẳng hàng bằng cách sử dụng tọa độ hoặc định nghĩa về đường thẳng.

Hy vọng các bước trên có thể giúp bạn hoàn thiện bài tập một cách dễ dàng! Nếu cần thêm trợ giúp, hãy hỏi thêm nhé!