Để giải phương trình \( x + y + z = 2\sqrt{x} + 4\sqrt{y-1} + 6\sqrt{z-2} - 11 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển vế:** Đưa tất cả các biểu thức về một bên:
\[
x + y + z - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{y-1} - 6\sqrt{z-2} + 11 = 0
\]

2. **Xét điều kiện:** Để các căn bậc hai có nghĩa, ta cần:
- \( x \geq 0 \)
- \( y - 1 \geq 0 \) (tức là \( y \geq 1 \))
- \( z - 2 \geq 0 \) (tức là \( z \geq 2 \))

3. **Tìm giá trị cụ thể:** Ta có thể thử các giá trị nguyên cho \( x, y, z \) dựa vào các điều kiện trên.

4. **Thử giá trị:** Ví dụ thử các giá trị \( x = 0, y = 1, z = 2 \):
\[
0 + 1 + 2 = 2\sqrt{0} + 4\sqrt{1-1} + 6\sqrt{2-2} - 11
\]
\[
3 = 0 + 0 + 0 - 11 \quad \text{(không đúng)}
\]

Tiếp tục thử với các giá trị khác, như \( x = 4, y = 5, z = 3 \):
\[
4 + 5 + 3 = 2\sqrt{4} + 4\sqrt{5-1} + 6\sqrt{3-2} - 11
\]
\[
12 = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 1 - 11
\]
\[
12 = 4 + 8 + 6 - 11 \Longrightarrow 12 = 7 \quad \text{(không đúng)}
\]

5. **Tìm nghiệm:** Tiếp tục thử các giá trị cho \( x, y, z \) cho đến khi tìm ra nghiệm phù hợp.

Khi đã xác định được nghiệm, hoặc nếu không tìm thấy nghiệm nào phù hợp, ta cần đánh giá lại hệ phương trình hoặc sử dụng các phương pháp số hoặc đồ thị để tìm nghiệm gần đúng.

Nếu bạn có giá trị cụ thể cho \( x, y, z \) mà bạn muốn kiểm tra hoặc tiếp tục phương pháp, hãy cho tôi biết!