Cho đường thẳng d : 2aX - ( 3b + 1 ) y - a -1 . Tìm các giá trị của a và b để d đi qua giao điểm M(-7;6) và N(4;-3)

Để tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho đường thẳng \( d: 2aX - (3b + 1) y - a - 1 = 0 \) đi qua hai điểm \( M(-7;6) \) và \( N(4;-3) \), chúng ta thay tọa độ của các điểm vào phương trình đường thẳng để tạo thành hệ phương trình.

1. Thay điểm \( M(-7;6) \) vào phương trình:
\[
2a(-7) - (3b + 1)(6) - a - 1 = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
-14a - (18b + 6) - a - 1 = 0
\]
\[
-15a - 18b - 7 = 0 \quad (1)
\]

2. Thay điểm \( N(4;-3) \) vào phương trình:
\[
2a(4) - (3b + 1)(-3) - a - 1 = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
8a + (9b + 3) - a - 1 = 0
\]
\[
7a + 9b + 2 = 0 \quad (2)
\]

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình:
1. \( -15a - 18b - 7 = 0 \)
2. \( 7a + 9b + 2 = 0 \)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình (1):
\[
15a + 18b = -7 \quad (3)
\]

Từ phương trình (2) có thể chuyển về dạng:
\[
7a + 9b = -2 \quad (4)
\]

Tiến hành nhân phương trình (4) với 2:
\[
14a + 18b = -4 \quad (5)
\]

Bây giờ, trừ phương trình (3) từ phương trình (5):
\[
(14a + 18b) - (15a + 18b) = -4 + 7
\]
\[
-a = 3
\]
Do đó:
\[
a = -3
\]

Thay giá trị của \( a \) vào phương trình (4):
\[
7(-3) + 9b = -2
\]
\[
-21 + 9b = -2
\]
\[
9b = 19
\]
\[
b = \frac{19}{9}
\]

Vậy các giá trị của \( a \) và \( b \) là:
\[
a = -3, \quad b = \frac{19}{9}.
\]