Để tìm tất cả các số nguyên \( n \) sao cho biểu thức

\[
n^3 + 2n^2 + 2n + 7
\]

là một số chính phương, ta có thể làm như sau:

1. **Biểu thức chính phương**: Một số chính phương có thể viết dưới dạng \( k^2 \), với \( k \) là một số nguyên.

2. **Thiết lập phương trình**:

\[
n^3 + 2n^2 + 2n + 7 = k^2
\]

3. **Thay thế các giá trị của \( n \)**: Ta thử với một số giá trị của \( n \) để xem liệu kết quả có phải là số chính phương hay không.

- \( n = 0 \):
\[
0^3 + 2(0^2) + 2(0) + 7 = 7 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = 1 \):
\[
1^3 + 2(1^2) + 2(1) + 7 = 1 + 2 + 2 + 7 = 12 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = 2 \):
\[
2^3 + 2(2^2) + 2(2) + 7 = 8 + 8 + 4 + 7 = 27 \quad (3^3, \text{ không phải chính phương})
\]

- \( n = 3 \):
\[
3^3 + 2(3^2) + 2(3) + 7 = 27 + 18 + 6 + 7 = 58 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = 4 \):
\[
4^3 + 2(4^2) + 2(4) + 7 = 64 + 32 + 8 + 7 = 111 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = -1 \):
\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 7 = -1 + 2 - 2 + 7 = 6 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = -2 \):
\[
(-2)^3 + 2(-2)^2 + 2(-2) + 7 = -8 + 8 - 4 + 7 = 3 \quad (\text{không phải chính phương})
\]

- \( n = -3 \):
\[
(-3)^3 + 2(-3)^2 + 2(-3) + 7 = -27 + 18 - 6 + 7 = -8 \quad (\text{không chính phương})
\]

4. **Tiếp tục thử với các giá trị khác** và ghi lại nếu tìm thấy số chính phương.

5. **Tìm giá trị lớn hơn**: Kiểm tra với các giá trị lớn hơn hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình để tìm nghiệm của \( k^2 - n^3 - 2n^2 - 2n - 7 = 0 \).

Tiếp tục thử với một số giá trị của \( n \) cho đến khi tìm thấy nghiệm. Để đơn giản hơn, có thể sử dụng phần mềm hoặc công cụ tính toán cho các bước trên. Khi tìm thấy giá trị của \( n \), kiểm tra lại xem có thỏa mãn điều kiện hay không.

**Kết luận**: Sau khi thử nghiệm một số giá trị \( n \), ghi lại kết quả và xem các kết quả này có thể là số chính phương tương ứng hay không. Nếu không tìm thấy nghiệm đơn giản, có thể cần một phương pháp phân tích hay giải phương trình sâu hơn.