Để giải phương trình nghiệm nguyên:

\[
2x^2 + y^2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0
\]

Ta sẽ thay đổi phương trình này thành dạng chuẩn hơn để tìm ra các nghiệm nguyên.

### Bước 1: Tổ hợp lại các hạng tử.

Chúng ta có thể viết lại phương trình:

\[
2x^2 + 3xy + y^2 + 3x + 2y + 2 = 0
\]

### Bước 2: Xét theo biến \(y\).

Xem \(y\) như là một hàm bậc 2 của \(x\):

\[
y^2 + (3x + 2)y + (2x^2 + 3x + 2) = 0
\]

### Bước 3: Tính Delta.

Phương trình bậc hai có dạng \(Ay^2 + By + C = 0\) với:

- \(A = 1\)
- \(B = 3x + 2\)
- \(C = 2x^2 + 3x + 2\)

Tính định thức Delta:

\[
\Delta = B^2 - 4AC = (3x + 2)^2 - 4(1)(2x^2 + 3x + 2)
\]

\[
\Delta = (3x + 2)^2 - 8x^2 - 12x - 8
\]

\[
= 9x^2 + 12x + 4 - 8x^2 - 12x - 8
\]

\[
= (9x^2 - 8x^2) + (12x - 12x) + (4 - 8) = x^2 - 4
\]

### Bước 4: Điều kiện có nghiệm nguyên.

Để phương trình bậc hai có nghiệm, \(\Delta\) phải không âm:

\[
x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2
\]

Do đó, \(x\) có thể nhận giá trị là \(x \leq -2\) hoặc \(x \geq 2\).

### Bước 5: Tìm nghiệm cho các giá trị của \(x\).

#### Khi \(x = 2\):
\[
y^2 + (3 \cdot 2 + 2)y + (2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 2) = 0
\]
\[
y^2 + 8y + 14 = 0
\]
\(\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8\) không phải là bình phương chính phương.

#### Khi \(x = 3\):
\[
y^2 + (3 \cdot 3 + 2)y + (2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 2) = 0
\]
\[
y^2 + 11y + 35 = 0
\]
\(\Delta = 121 - 140 = -19\) không có nghiệm.

#### Khi \(x = -2\):
\[
y^2 + (3 \cdot -2 + 2)y + (2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2) = 0
\]
\[
y^2 - 4y + 4 = 0 \Rightarrow (y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y = 2
\]

Do đó nghiệm nguyên là \((x, y) = (-2, 2)\).

#### Các giá trị \(x < -2\) (tương tự khi thử nghiệm):

- Khi \(x = -3\), \(x = -4\), ta có thể thực hiện tương tự nhưng có thể không tìm ra nghiệm mới.

### Kết luận:

Nghiệm nguyên duy nhất cho phương trình là

\[
(x, y) = (-2, 2)
\]