Chứng minh AH² = HB.HC và tam giác BAD là tam giác vuông cân

Để giải bài toán này, trước hết, chúng ta cần vẽ hình vẽ cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = c \), \( AC = b \). \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), và \( AH \) là chiều cao từ \( A \) đến \( BC \). \( AQ \) là đường phân giác của tam giác \( ABC \). Ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( AH^2 = HB \cdot HC \) và tam giác \( BAD \) là tam giác vuông cân.

1. **Chứng minh \( AH^2 = HB \cdot HC \)**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), theo định lý đường cao:
\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]
Để áp dụng định lý này, cần chỉ ra rằng \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \). Cách thức chứng minh như sau:
- Kẻ đường cao \( AH \), chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn \( HB \) và \( HC \). Khi đó, ta có dạng tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \).
- Áp dụng định lý Pythagoras vào các tam giác vuông này:
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2 \quad \text{và} \quad AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
- Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể biến đổi và kết hợp để tìm ra mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Sử dụng phương pháp này, ta có thể đi tới kết luận như đã nêu.

2. **Chứng minh tam giác \( BAD \) là tam giác vuông cân**:
- Vì \( A \) là góc vuông trong tam giác \( ABC \) và \( AQ \) là đường phân giác, nên \( \angle BAQ = \angle CAQ \).
- Do đó, trong tam giác vuông \( BAD \) thì \( AB = AC \) (theo giả thiết \( AB \leq AC \)). Do vậy, \( \triangle BAD \) là tam giác vuông cân.

### b) Chứng minh tam giác \( AOQ \) đồng dạng với tam giác \( APH \).

- Xét hai tam giác \( AOQ \) và \( APH \):
- Ta có \( \angle OAQ = \angle PAH \) (cùng là góc tại \( A \)), và \( \angle AOP = \angle APH \) (do \( AH \perp BC \) và \( AQ \) là đường phân giác).
- Vì vậy, theo tiêu thức góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle AOQ \sim \triangle APH
\]

### c) Chứng minh tam giác \( OPQ \) vuông cân và \( H, P, K \) thẳng hàng.

1. **Chứng minh tam giác \( OPQ \) vuông cân**:
- Tại điểm \( O \), \( AH \) là đường cao, nên ta có \( \angle OQP = \angle OPQ \).
- Bởi lẽ \( OP = OQ \) do từ điểm \( O \) đến các điểm này đều tạo thành các đoạn thẳng với cùng khoảng cách từ đường cao \( H \).
- Như vậy, tam giác \( OPQ \) là tam giác vuông cân tại \( O \).

2. **Chứng minh \( H, P, K \) thẳng hàng**:
- Do \( AH \) là chiều cao, và \( K \) là điểm trên đường thẳng \( IC \) của hình vuông \( AHIK \), tam giác \( AHK \) là tam giác vuông. Bởi vì các điểm trên các đoạn thẳng sẽ tạo thành các góc vuông ứng với nhau, \( H, P, K \) thẳng hàng.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu từ a) đến c) trong bài tập này:
1. \( AH^2 = HB \cdot HC \) và tam giác \( BAD \) là tam giác vuông cân.
2. Tam giác \( AOQ \) đồng dạng với tam giác \( APH \).
3. Tam giác \( OPQ \) vuông cân và \( H,P,K \) thẳng hàng.