Để chứng minh tam giác MAN là tam giác đều, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định các tính chất của tiếp tuyến**: Từ điểm A ngoài đường tròn (O), hai tiếp tuyến AM và AN được vẽ đến đường tròn tại các điểm M và N. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
AM \perp OM \quad \text{và} \quad AN \perp ON
\]
trong đó O là tâm của đường tròn.

2. **Xét góc MAN**: Từ đề bài, ta biết rằng:
\[
\angle MAN = 60^\circ
\]

3. **Tính góc OMA và ONA**: Từ các tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle OMA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle ONA = 90^\circ
\]

4. **Sử dụng định lý về tổng các góc trong tam giác**: Trong tam giác OMA và tam giác ONA, ta có:
\[
\angle OMA + \angle MAN + \angle OAN = 180^\circ
\]
=> Thay thế các giá trị đã biết vào:
\[
90^\circ + 60^\circ + \angle OAN = 180^\circ
\]
=> Từ đó ta suy ra:
\[
\angle OAN = 30^\circ
\]
Tương tự cho tam giác OAN, ta cũng có:
\[
\angle OAN = 30^\circ
\]

5. **Sử dụng tính chất của các tam giác**: Vì góc OMA và OAN đều bằng 90° và góc MAN là 60°, ta có thể thấy rằng các tam giác OMA và OAN có góc ngoài bằng nhau:
\[
\angle OMA = \angle OAN = 90^\circ, \quad \angle OAM = \angle OAN = 30^\circ
\]

6. **Tính cạnh cạnh: Tính độ dài các đoạn OA, OM, ON**:
Nhận thấy rằng trong các tam giác OMA và OAN:
- Hai đoạn AM và AN là các tiếp tuyến từ A đến đường tròn, nên có độ dài bằng nhau.
- Điều này dẫn đến việc:
\[
AM = AN
\]

7. **Kết luận**: Với điều kiện \( AM = AN \) và \( \angle MAN = 60^\circ \), ta có thể khẳng định rằng tam giác MAN có ba cạnh bằng nhau và góc giữa ba cạnh đều bằng 60°. Do đó, ta có thể kết luận rằng tam giác MAN là tam giác đều.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác MAN là tam giác đều.