Để thực hiện phép tính:

\[ H = \left( \frac{1}{2}\sqrt{412} - \frac{2}{3}\sqrt{63} - \frac{3}{5}\sqrt{178} \right) \cdot \sqrt{\frac{3}{7}} \]

ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

1. Tính căn bậc hai:
- \(\sqrt{412} = 2\sqrt{103}\)
- \(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\)
- \(\sqrt{178}\) không thể đơn giản hóa hơn.

2. Thay vào biểu thức:
\[
H = \left( \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{103} - \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{7} - \frac{3}{5} \cdot \sqrt{178} \right) \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}
\]

\[
= \left( \sqrt{103} - 2\sqrt{7} - \frac{3}{5} \sqrt{178} \right) \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}
\]

3. Tiến hành nhân hai biểu thức:
- Cần nhân từng phần của biểu thức bên trong với \(\sqrt{\frac{3}{7}}\):
\[
H = \sqrt{103} \cdot \sqrt{\frac{3}{7}} - 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{\frac{3}{7}} - \frac{3}{5}\sqrt{178} \cdot \sqrt{\frac{3}{7}}
\]

4. Sắp xếp lại:
- \( = \frac{\sqrt{3 \cdot 103}}{\sqrt{7}} - \frac{2\sqrt{3 \cdot 7}}{\sqrt{7}} - \frac{3\sqrt{3 \cdot 178}}{5 \sqrt{7}} \)

5. Căn rút ra và quy đồng nếu cần thiết.

Kết quả cuối cùng sẽ được tính toán và rút gọn tùy vào độ phức tạp của các căn bậc hai.