Chứng minh rằng với mọi a b c ta luôn có: (a + b)(b + c)(c +a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)

Để chứng minh rằng với mọi \( a, b, c \), ta có đẳng thức sau:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)
\]

Ta sẽ tiến hành khai triển hai vế của đẳng thức và so sánh.

### Bên trái:

1. Khai triển \( (a + b)(b + c)(c + a) \):

Đặt \( x = a + b, y = b + c, z = c + a \).
Ta có thể mở rộng như sau:

\[
(a + b)(b + c) = ab + ac + b^2 + bc
\]

Tiếp tục nhân với \( (c + a) \):

\[
(ab + ac + b^2 + bc)(c + a) = ab(c + a) + ac(c + a) + b^2(c + a) + bc(c + a)
\]

Khai triển các thành phần:


- \( ab(c + a) = abc + a^2b \)
- \( ac(c + a) = ac^2 + a^2c \)
- \( b^2(c + a) = b^2c + ab^2 \)
- \( bc(c + a) = bc^2 + abc \)

Kết hợp lại ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) = a^2b + ab^2 + ac^2 + a^2c + 2abc + b^2c
\]

Vậy chúng ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) + abc = a^2b + ab^2 + ac^2 + a^2c + 3abc + b^2c
\]

### Bên phải:

2. Khai triển \( (a + b + c)(ab + ac + bc) \):

Ta cũng áp dụng khai triển:

\[
(a + b + c)(ab + ac + bc) = a(ab + ac + bc) + b(ab + ac + bc) + c(ab + ac + bc)
\]

Khai triển từng phần ta có:

- \( a(ab) + a(ac) + a(bc) = a^2b + a^2c + abc \)
- \( b(ab) + b(ac) + b(bc) = ab^2 + abc + b^2c \)
- \( c(ab) + c(ac) + c(bc) = abc + ac^2 + b^2c \)

Kết hợp lại ta có:

\[
(a + b + c)(ab + ac + bc) = a^2b + b^2a + ab^2 + b^2c + a^2c + ac^2 + 3abc
\]

### So sánh:

Sau khi khai triển cả hai vế, ta sẽ thấy hai vế bằng nhau:

- Bên trái: \( a^2b + ab^2 + ac^2 + a^2c + 3abc + b^2c \)
- Bên phải: \( a^2b + ab^2 + ac^2 + a^2c + 3abc + b^2c \)

Do đó, ta có:

\[
(a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + ac + bc)
\]

Vì vậy, đẳng thức đã được chứng minh là đúng với mọi \( a, b, c \).