Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì np – n chia hết cho p với mọi số nguyên dương n.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Ta có np – n chia hết cho p (1).
Với n = 1, ta có 1p – 1 = 0 ⋮ p (đúng).
Giả sử (1) đúng với n = k, với k ≥ 2.
Tức là kp – k ⋮ p.
Ta cần chứng minh (1) đúng n = k + 1. Tức là cần chứng minh (k + 1)p – (k + 1) ⋮ p.
Thật vậy, theo nhị thức Newton, ta có:
\({\left( {k + 1} \right)^p} = {k^p} + C_k^1.{k^{p - 1}} + C_k^2.{k^{p - 2}} + ... + C_k^{k - 2}.{k^2} + C_k^{k - 1}.k + 1\).
Ta thấy \(C_k^h = \frac{{k!}}{{h!\left( {k - h} \right)!}}\) chia hết cho p (do p là số nguyên tố).
Do đó biểu thức được viết lại thành (k + 1)p = kp + pm + 1, với m ∈ ℤ.
Mà kp – k ⋮ p nên (k + 1)p – (k + 1) = kp + pm + 1 – k – 1 = kp – k + pm cũng chia hết cho p.
Suy ra (1) đúng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |