Để chứng minh rằng góc \( \angle IHK = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng tính chất của hình học trong tam giác vuông và các định lý liên quan đến trung điểm.

**Bước 1: Xác định các điểm**

- Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác vuông tại \( A \).
- Gọi \( B \) và \( C \) lần lượt là hai đỉnh còn lại.
- Giả sử \( I \) là trung điểm của \( AB \) và \( K \) là trung điểm của \( AC \).
- Đường cao \( AH \) từ \( A \) tới cạnh \( BC \).

**Bước 2: Tính chất của độ dài đoạn thẳng**

Vì \( I \) là trung điểm của \( AB \), ta có:
\[
AI = \frac{AB}{2}
\]

Và vì \( K \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
AK = \frac{AC}{2}
\]

**Bước 3: Chứng minh rằng \( IH \perp HK \)**

Xét tam giác vuông \( ABC \):

- Do \( AH \) là đường cao, nên:
\[
AH \perp BC
\]

- Theo tính chất của đoạn cao và trung điểm, chúng ta có thể thấy rằng \( IH \) và \( HK \) lần lượt là các đoạn thẳng từ trung điểm tới chân đường cao.

**Bước 4: Sử dụng quy tắc vuông góc**

Hãy tìm góc \( \angle IHK \):
- Trong tam giác vuông \( ABC \), các đoạn thẳng từ \( A \) đến \( H \) là đường cao và:
\[
\angle AIB = \angle AHK = 90^\circ
\]

Từ đó, ta kết luận được rằng:
\[
\angle IHK = 90^\circ
\]

**Kết luận**

Áp dụng những bước trên, ta có thể khẳng định được rằng:
\[
\angle IHK = 90^\circ
\]

Điều này đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.