Biết x, y là các số nguyên thỏa mãn: 4x(2y + 3) - (2y + 3) = 15. Giá trị lớn nhất của tổng x + y là

Để giải phương trình \( 4x(2y + 3) - (2y + 3) = 15 \), ta có thể viết lại như sau:

\[
(4x - 1)(2y + 3) = 15
\]

Ta biết rằng \( 15 \) có các ước số như sau: \( 1, 3, 5, 15, -1, -3, -5, -15 \).

Giả sử \( (4x - 1) = d \) và \( (2y + 3) = \frac{15}{d} \):

1. **Khi \( d = 1 \)**:
- \( 4x - 1 = 1 \) \(\Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) (không phải số nguyên)

2. **Khi \( d = 3 \)**:
- \( 4x - 1 = 3 \) \(\Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1\)
- \( 2y + 3 = 5 \) \(\Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\)
- \( x + y = 2 \)

3. **Khi \( d = 5 \)**:
- \( 4x - 1 = 5 \) \(\Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (không phải số nguyên)

4. **Khi \( d = 15 \)**:
- \( 4x - 1 = 15 \) \(\Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4\)
- \( 2y + 3 = 1 \) \(\Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1\)
- \( x + y = 3 \)

5. **Khi \( d = -1 \)**:
- \( 4x - 1 = -1 \) \(\Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \( 2y + 3 = -15 \) \(\Rightarrow 2y = -18 \Rightarrow y = -9\)
- \( x + y = -9 \)

6. **Khi \( d = -3 \)**:
- \( 4x - 1 = -3 \) \(\Rightarrow 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\) (không phải số nguyên)

7. **Khi \( d = -5 \)**:
- \( 4x - 1 = -5 \) \(\Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1\)
- \( 2y + 3 = -3 \) \(\Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3\)
- \( x + y = -4 \)

8. **Khi \( d = -15 \)**:
- \( 4x - 1 = -15 \) \(\Rightarrow 4x = -14 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}\) (không phải số nguyên)

Tổng hợp lại, ta có các giá trị của \( x + y \):
- \( 2 \)
- \( 3 \)
- \( -9 \)
- \( -4 \)

Giá trị lớn nhất của \( x + y \) là \( 3 \).

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{3}
\]