LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB. b) Tính chu vi tam giác MAB. c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm) sao cho

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

b) Tính chu vi tam giác MAB.

c) Vẽ đường thẳng d đi qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q. Xác định vị trí của đường thẳng d sao cho MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
25
0
0
Bạch Tuyết
15/09 09:18:43

a) ⦁ Ta có MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại A và B nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB.

Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

OM2=MA2+OA2=R32+R2=4R2

Suy ra OM = 2R.

Gọi I là giao điểm của (O) với tia OM, ta có OI = R nên IM = OM – OI = 2R – R = R.

Do đó, IM = IO = R nên I là trung điểm của OM.

Do ∆OAM vuông tại A nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OAM.

Do ∆OBM vuông tại B nên trung điểm I của cạnh huyền OM là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OBM.

Do đó bốn điểm A, M, B, O cùng nằm trên đường tròn (I) đường kính OM.

Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. (1)

⦁ Xét ∆OAM vuông tại A, ta có: sin AMO^=OAOM=12

Suy ra AMO^=30°.

Do MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra AMB^=2AMO^=2·30°=60°.

Vì vậy tam giác AMB là tam giác đều có MA=MB=AB=R3 (2)

Từ (1), (2) suy ra đường tròn nội tiếp tam giác đều MAB cạnh R3 có tâm là I và bán kính là R3·36=R2.

b) Do tam giác MAB đều cạnh R3 nên chu vi tam giác MAB bằng 3R3.

c) Ta có MBO^=MBP^+PBO^=90° suy ra  MBP^=90°-PBO^. (3)

Do ∆OBP cân tại O (do OB = OP) nên ta có:

PBO^=BPO^=180°-BOP^2=90°-12BOP^.

Xét đường tròn (O) có BQP^, BOP^ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BP nên  BQP^=12BOP.^

Do đó PBO^=90°-BQP^. Hay BQP^=90°-PBO^.  (4)

Từ (3) và (4) suy ra MBP^=BQP^.

Xét ∆MPB và ∆MBQ có:

 MBP^=MQB^, BMQ^ là góc chung

Do đó ∆MPB ᔕ ∆MBQ (g.g).

Suy ra MBMQ=MPMB hay MP·MQ=MB2=R32=3R2.

Lại có (MQ – MP)2 ≥ 0 hay (MQ + MP)2 ≥ 4MQ.MP

Suy ra (MQ + MP)2 ≥ 4.3R2 = 12R2

Do đó MQ+MP≥12R2=2R3 (dấu “=” xảy ra khi MQ = MP).

Vậy MQ + MP đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R3 khi đó MP = MQ hay đường thẳng d đi qua M và A hoặc d đi qua M và B.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư