Để chứng minh rằng tam giác AED là tam giác cân, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến.

**a. Chứng minh tam giác AED là tam giác cân:**

1. **Gọi D và E lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AC:**
- Do tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC.

2. **Xét hai đoạn thẳng:**
- Do D và E là trung điểm của BC và AC, ta có:
\[
BD = DC \quad \text{và} \quad AE = EC
\]

3. **Chứng minh AE = AD:**
Ta có \( BD = DC \) và \( AE = EC \). Do đó, ta có:
\[
AB = AC \quad (do \, tam\, giác\, ABC\, cán)
\]

4. **Xét tam giác AED:**
- Trong tam giác AED, ta có:
\[
AD = AE + ED \implies AE = AD
\]

5. **Do đó, tam giác AED là tam giác cân với AE = AD.**

**b. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân:**

1. **Xét các cạnh của tứ giác BCDE:**
- Bằng cách sử dụng các điểm D và E là trung điểm của BC và AC, ta thấy:
\[
BD = DC \quad \text{(vì D là trung điểm của BC)}
\]
\[
AE = EC \quad \text{(vì E là trung điểm của AC)}
\]

2. **Chứng minh BC || DE:**
- Trong tam giác ABC, ta có AE // BC (vì AE là đường trung tuyến trong tam giác ABC).

3. **Chứng minh BC = DE:**
- Khi xét hai tam giác ABD và AEC:
- Theo tính chất của đường trung tuyến, \( DE = BD = DC \).

4. **Kết luận:**
- Tứ giác BCDE có 2 cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó BCDE là hình thang cân.

Vậy đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.