Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác bằng nhau.

### a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(0, b) trong tam giác vuông ABC.
- H là giao điểm của đoạn cao BE và CF.
- M là trung điểm của BC.

2. **Tính toán các cạnh:**
- Gọi BH = HC và CK = KB.
- Từ định lý Pythagore, chúng ta có:
- \( BH = AC / 2 = b / 2 \)
- \( CK = AB / 2 = a / 2 \)

3. **Đối chứng cặp cạnh:**
- Từ đó, chúng ta sẽ có:
- \( BH = CK \)
- \( HC = KB \)

Vậy tứ giác BHCK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, suy ra BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng

1. **Xem H, M, K:**
- H là giao điểm của hai đường cao BE và CF.
- M là trung điểm của đoạn BC.
- K là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc từ B và C xuống AB và AC.

2. **Xác định tính chất:**
- Theo tính chất hình học, nếu H nằm trên đường thẳng nối B và C thì H, M, K sẽ thẳng hàng.

3. **Chứng minh:**
- \( HM \) là đường trung bình trong tam giác ABC (từ H và M), và K nằm trên đoạn thẳng này, do đó H, M, K thẳng hàng.

### c) Điều kiện nào để tứ giác BHCK là hình thoi?

- Tứ giác BHCK sẽ là hình thoi nếu và chỉ nếu tất cả bốn cạnh BH, HK, CK, và BM đều bằng nhau.
- Điều này có nghĩa là các cạnh AB và AC phải bằng nhau, tức là tam giác ABC là tam giác cân với AB = AC.

Tóm lại:
- BHCK là hình bình hành và H, M, K thẳng hàng.
- Hình bình hành BHCK là hình thoi khi tam giác ABC là tam giác cân.